contrôle du 29 Mai 2006

Corrigé de l'exercice 3

La somme de deux nombres est égale à $-5$ et la différence de leurs carrés est égale à 1.
Quels sont ces nombres ?

Soient x et y les deux nombres :

• La somme de deux nombres est égale à $-5$ d'où $x+y=-5$.
• La différence de leurs carrés est égale à 1 d'où $x^2-y^2=1$. Soit $\left(x+y\right)\left(x-y\right)=1$.

Ainsi, x et y sont solutions du système :$$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{l}x+y=-5\\ \left(x+y\right)\left(x-y\right)=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}x+y=-5\\ -5\left(x-y\right)=1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-x-5\\ -5x+5y=1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-x-5\\ -5x-5x-25=1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-x-5\\ -10x=26\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{13}{5}}\\ y=-{\displaystyle \frac{12}{5}}\end{array}\end{array}$$

Les deux nombres dont la somme est égale à $-5$ et la différence de leurs carrés est égale à 1 sont $-{\displaystyle \frac{13}{5}}$ et $-{\displaystyle \frac{12}{5}}$.

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