contrôle du 29 Mai 2006

Corrigé de l'exercice 4

1. Soient a et b deux réels positifs tels que $0⩽a⩽b$. Montrer que $-2⩽{\displaystyle \frac{-2}{a^2+1}}⩽{\displaystyle \frac{-2}{b^2+1}}$.

   $$\begin{array}{rcl}0⩽a⩽b& \Rightarrow & 0⩽a^2⩽b^2\\ & \iff & 1⩽a^2+1⩽b^2+1\\ & \iff & 0⩽{\displaystyle \frac{1}{b^2+1}}⩽{\displaystyle \frac{1}{a^2+1}}⩽1\\ & \iff & -2⩽{\displaystyle \frac{-2}{a^2+1}}⩽{\displaystyle \frac{-2}{b^2+1}}⩽0\end{array}$$

   Si a et b sont deux réels positifs tels que $0⩽a⩽b$ alors $-2⩽{\displaystyle \frac{-2}{a^2+1}}⩽{\displaystyle \frac{-2}{b^2+1}}$.

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2. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-2}{x^2+1}}$.

   1. Déterminer le signe de $f\left(x\right)$ pour tout réel x.

      Pour tout réel x, $x^2+1⩾0$ d'où ${\displaystyle \frac{-2}{x^2+1}}⩽0$.

      Pour tout réel x, $f\left(x\right)⩽0$.

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   2. En vous aidant du résultat établi dans la première question, déterminer le sens de variation de f sur $\left[0;+\infty \right[$.

      D'après le résultat établi dans la première question :

      Si a et b sont deux réels positifs tels que $0⩽a⩽b$ alors $f\left(a\right)⩽f\left(b\right)$ donc la fonction f est croissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

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   3. Étudier le sens de variation de f sur $\left]-\infty ;0\right]$.

      Soient a et b deux réels négatifs

      $$\begin{array}{rcl}a⩽b⩽0& \Rightarrow & 0⩽b^2⩽a^2\\ & \iff & 1⩽b^2+1⩽a^2+1\\ & \iff & 0⩽{\displaystyle \frac{1}{a^2+1}}⩽{\displaystyle \frac{1}{b^2+1}}⩽1\\ & \iff & -2⩽{\displaystyle \frac{-2}{b^2+1}}⩽{\displaystyle \frac{-2}{a^2+1}}⩽0\end{array}$$

      Si a et b sont deux réels négatifs tels que $a⩽b⩽0$ alors $f\left(a\right)⩾f\left(b\right)$ donc la fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$.

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   4. Que peut-on déduire pour la fonction f ?

      La fonction f décroissante sur $\left]-\infty ;0\right]$ et croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ avec $f\left(0\right)=-2$ donc

      la fonction f admet un minimum égal à $-2$ atteint pour $x=0$.

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