contrôle du 29 Mai 2006

Corrigé de l'exercice 2

Résoudre dans $ℝ$ les systèmes suivants :

1. $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2}}x-3y=4\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}x+3y=-1\end{array}$

   $$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2}}x-3y=4\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}x+3y=-1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2}}x-3y=4& \\ {\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}x=4-1& L_2\leftarrow L_2+L_1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{2}}x-3y=4\\ {\displaystyle \frac{7}{6}}x=3\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{18}{7}}\\ y=-{\displaystyle \frac{19}{21}}\end{array}\end{array}$$

   Le système admet pour couple solution $\left({\displaystyle \frac{18}{7}};-{\displaystyle \frac{19}{21}}\right)$.

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2. $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2x-3y}{5}}=4\\ -{\displaystyle \frac{x}{3}}+y=-5\end{array}$

   $$\begin{array}{rcl}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2x-3y}{5}}=4\\ -{\displaystyle \frac{x}{3}}+y=-5\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}2x-3\left({\displaystyle \frac{x}{3}}-5\right)=20\\ y={\displaystyle \frac{x}{3}}-5\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}2x-x+15=20\\ y={\displaystyle \frac{x}{3}}-5\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}x=5\\ y=-{\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}\end{array}$$

   Le système admet pour couple solution $\left(5;-{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)$.

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