contrôles en seconde

contrôle du 14 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur par f(x)=-x2+3x+32 dont la courbe représentative 𝒞f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Montrer que pour tout réel x, f(x)-f(32)0. Que peut-on déduire pour la fonction f ?

    f(32)=-(32)2+3×32+32=154

    f(x)-f(32)=-x2+3x+32-154=-x2+3x-94=-(x-32)20

    Ainsi, pour tout réel x, f(x)-f(32)0. Par conséquent, f(32)=154 est le maximum de la fonction f.


  2. g est la fonction affine définie sur telle que g(-32)=3 et g(92)=-3.

    1. On note d la courbe représentative de la fonction g. Tracer d dans le repère précédent.

      g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite d passant par les points de coordonnées (-32;3) et (92;-3)

      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Exprimer g(x) en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par g(x)=ax+b avec a=g(92)-g(-32)92-(-32)Soita=-3-36=-1

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par g(x)=-x+b. Or g(-32)=3 d'où 32+b=3b=32

      g est la fonction définie pour tout réel x par g(x)=-x+32.


  3. Résoudre dans l'inéquation f(x)g(x).

    Pour tout réel x f(x)g(x)-x2+3x+32-x+32-x2+4x0x(4-x)0

    Étudions le signe du produit x(4-x) à l'aide d'un tableau :

    x- 0 4 +
    Signe de x 0||+|+ 
    Signe de 4-x +|+0|| 
    Signe de x(4-x) 0||+0|| 

    L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)g(x) est l'intervalle S=[0;4].



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