contrôle du 4 mars 2006

Corrigé de l'exercice 1

Déterminer le réel x pour que les vecteurs suivants soient colinéaires :

1. $\overrightarrow{u}\left(-1;3\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x;-5\right)$.

   Les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(-1;3\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x;-5\right)$ sont colinéaires si, et seulement si, $$\begin{array}{rcl}\left(-1\right)\times \left(-5\right)-3x=0& \iff & 5-3x=0\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(-1;3\right)$ et $\overrightarrow{v}\left({\displaystyle \frac{5}{3}};-5\right)$ sont colinéaires.

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2. $\overrightarrow{u}\left(-1;x\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x;-3\right)$.

   Les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(-1;x\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x;-3\right)$ sont colinéaires si, et seulement si, $$\begin{array}{rcl}\left(-1\right)\times \left(-3\right)-x^2=0& \iff & 3-x^2=0\\ & \iff & x=\sqrt{3}\text{ ou }x=-\sqrt{3}\end{array}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(-1;\sqrt{3}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\sqrt{3};-3\right)$ sont colinéaires ainsi que les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(-1;-\sqrt{3}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(-\sqrt{3};-3\right)$.

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