contrôles en seconde

contrôle du 4 mars 2006

Corrigé de l'exercice 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ on considère les points $A (- 1; 0)$ , $B (3; - 2)$ , $C (1; 4)$ et $D (2; 1)$ .

Quelle est la nature du triangle ABC ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où : $\begin{array}{rcl} A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}} & Soit & A B = \sqrt{{(3 - (- 1))}^{2} + {(- 2 - 0)}^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \\ B C = \sqrt{{(x_{C} - x_{B})}^{2} + {(y_{C} - y_{B})}^{2}} & Soit & B C = \sqrt{{(1 - 3)}^{2} + {(4 - (- 2))}^{2}} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \\ A C = \sqrt{{(x_{C} - x_{A})}^{2} + {(y_{C} - y_{A})}^{2}} & Soit & A C = \sqrt{{(1 - (- 1))}^{2} + {(4 - 0)}^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \end{array}$
Ainsi, ${B C}^{2} = {A B}^{2} + {A C}^{2}$ alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. En outre, $A B = A C = 2 \sqrt{5}$ .
ABC est un triangle rectangle isocèle.
Les points B, C et D sont-ils alignés ?
Les points B, C et D sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vec{B C}$ et $\vec{B D}$ sont colinéaires.

Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{B C}$ et $\vec{B D}$ : $\begin{array}{l} \vec{B C} (x_{C} - x_{B}; y_{C} - y_{B}) & D'où & \vec{B C} (1 - 3; 4 - (- 2)) & Soit & \vec{B C} (- 2; 6) \\ \vec{B D} (x_{D} - x_{B}; y_{D} - y_{B}) & D'où & \vec{B D} (2 - 3; 1 - (- 2)) & Soit & \vec{B D} (- 1; 3) \end{array}$
Ainsi, $\vec{B C} = 2 \vec{B D}$ . Donc les vecteurs $\vec{B C}$ et $\vec{B D}$ sont colinéaires et D est le milieu du segment [BC].
Les points B, C et D sont alignés.

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