contrôles en seconde

contrôle du 24 Octobre 2006

Corrigé de l'exercice 3

(BE) et (CF) sont deux hauteurs du triangle ABC.

Montrer que les points B, C, E et F sont sur un même cercle.
- Le triangle BEC rectangle en E est inscrit dans le cercle de diamètre [BC].
- Le triangle BFC rectangle en F est inscrit dans le cercle de diamètre [BC].
Les points B, C, E et F sont sur le cercle de diamètre [BC].
Montrer que les triangles ABC et AEF sont semblables.

Les triangles ABC et AEF ont l'angle $\hat{B A C}$ commun.

Dans le triangle rectangle BFC, les angles $\hat{A B C}$ et $\hat{F C B}$ sont complémentaires : $\hat{A B C} + \hat{F C B} = 90 °$

Dans le triangle rectangle AEB, les angles $\hat{A E F}$ et $\hat{F E B}$ sont complémentaires : $\hat{A E F} + \hat{F E B} = 90 °$

Or, les angles inscrits $\hat{F E B}$ et $\hat{F C B}$ interceptent le même arc $\overset{⏜}{F B}$ donc $\hat{F E B} = \hat{F C B}$ . On en déduit que $\hat{A B C} = \hat{A E F}$ .
Les triangles ABC et AEF ayant deux angles respectivement de même mesure sont semblables.
Montrer que $A B \times A F = A C \times A E$ .

Les triangles ABC et AEF sont semblables d'où : $\begin{matrix} \frac{A B}{A E} = \frac{A C}{A F} & \Leftrightarrow & A B \times A F = A C \times A E \end{matrix}$

Ainsi, $A B \times A F = A C \times A E$ .

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