contrôle du 22 septembre 2006

Exercice 1

Pour chacun des nombres suivants, donner le plus petit ensemble $\left(\mathbb{N}\text{, }\mathbb{Z}\text{, }\mathbb{Q}\text{ ou }ℝ\right)$ auquel il appartient :

$A=4-\sqrt{49}$ ;   $B={\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{0,01}}}{{10}^{-4}}}$ ;   $C={\left(\sqrt{6}-\sqrt{8}\right)}^2$ ;   $D=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{2}{3}}}\times \sqrt{1-{\displaystyle \frac{7}{12}}}$.

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Exercice 2

Pour chacune des propositions suivantes, dites si elle est vraie ou fausse.

a) ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ a pour inverse ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2}}$	VRAI FAUX	b) $\sqrt{18}\times \sqrt{8}=12$	VRAI FAUX
c) $\sqrt{{\left(-11\right)}^2}=-11$	VRAI FAUX	d) 451 est un nombre premier	VRAI FAUX
e) ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$	VRAI FAUX	f) $\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{7}$	VRAI FAUX

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Exercice 3

1. Écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ où a et a sont deux entiers :

   1. $\sqrt{45}+3\sqrt{5}-4\sqrt{20}$.

   2. $\sqrt{44}+3\sqrt{275}-7\sqrt{99}$.

2. Écrire les nombres suivants sans radicaux au dénominateur :

   1. ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{3}}}$.

   2. ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{8}}}$.

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Exercice 4

Soit le réel négatif $A=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$.

1. Calculer $A^2$.

2. En déduire une écriture plus simple de A.

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Exercice 5

Soit $E=n^2+n+11$ où n est un entier naturel.

1. Calculer E pour chacune des valeurs de n suivantes : $n=2$ ; $n=6$ et $n=13$.

2. La proposition : « Si n est un entier naturel alors, tout nombre de la forme $n^2+n+11$ est premier », est-elle vraie ?

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