contrôle du 22 décembre 2006

Corrigé de l'exercice 1

La figure ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie sur $ℝ$.

1. À partir du graphique, donner le tableau des variations de la fonction f.

   x	$-\infty$		$-\mathrm{1,5}$		3		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			2		− 2,5

2. En justifiant votre réponse, donner le nombre de solutions des équations suivantes :

   1. $f\left(x\right)=2$.

      La droite d'équation $y=2$ coupe la courbe $C_f$ en deux points.

      Donc l'équation $f\left(x\right)=2$ admet deux solutions.

      ---

   2. $f\left(x\right)=-2$.

      La droite d'équation $y=-2$ coupe la courbe $C_f$ en trois points.

      Donc l'équation $f\left(x\right)=-2$ admet trois solutions.

      ---

   3. $f\left(x\right)=7$.

      D'après l'allure de la courbe, la droite d'équation $y=7$ devrait couper la courbe $C_f$ en un point.

      Donc l'équation $f\left(x\right)=7$ admet une solution.

      ---

   4. $f\left(x\right)=-5$.

      D'après l'allure de la courbe, la droite d'équation $y=-5$ devrait couper la courbe $C_f$ en un point.

      Donc l'équation $f\left(x\right)=-5$ admet une solution.

      ---

3. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. (Justifier chaque réponse)

   1. $f\left(-{\displaystyle \frac{19}{12}}\right)>f\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$.

      $-{\displaystyle \frac{5}{3}}=-{\displaystyle \frac{20}{12}}$ et $-\mathrm{1,5}=-{\displaystyle \frac{18}{12}}$ d'où $-{\displaystyle \frac{5}{3}}<-{\displaystyle \frac{19}{12}}<-\mathrm{1,5}$.

      Or sur l'intervalle $\left]-\infty ;-\mathrm{1,5}\right[$, la fonction f est strictement croissante donc $f\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)<f\left(-{\displaystyle \frac{19}{12}}\right)$.

      L'affirmation $f\left(-{\displaystyle \frac{19}{12}}\right)>f\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$ est vraie.

      ---

   2. $f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)<f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

      $-\mathrm{1,5}<-{\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}<3$ et sur l'intervalle $\left[-\mathrm{1,5};3\right]$ , la fonction f est strictement décroissante donc $f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)>f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

      L'affirmation $f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)<f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ est fausse.

      ---

   3. $f\left(8\right)<f\left(12\right)$.

      Sur l'intervalle $\left[3;+\infty \right[$ , la fonction f est strictement croissante donc $f\left(8\right)<f\left(12\right)$.

      L'affirmation $f\left(8\right)<f\left(12\right)$ est vraie.

      ---

   4. Pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾-\mathrm{2,5}$.

      D'après l'allure de la courbe, la fonction f n'admet pas de minimum sur $ℝ$, il existe une infinité de réels x tels que $f\left(x\right)<-\mathrm{2,5}$. $(-\mathrm{2,5}\mathit{\text{ est un minimum relatif de la fonction sur l'intervalle }}\left[-\mathrm{1,5};+\infty \right[)$

      L'affirmation "Pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾-\mathrm{2,5}$ " est fausse.

      ---

4. Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   1. Tracer sur la courbe représentative de la fonction g sur le graphique précédent.

      g est une fonction affine alors, sa courbe représentative est la droite d'équation $y=-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ passant par les points de coordonnées $\left(-\mathrm{1,5};2\right)$ et $\left(3;-\mathrm{2,5}\right)$.

   2. Par lecture graphique , donner le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. (Justifier votre réponse)

      La droite d'équation $y=-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ coupe la courbe $C_f$ en trois points.

      Donc l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ admet trois solutions.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Calcul numériqueIntervalles et ordreFonctions généralitésFonctions : variationsFonctions de référence : ApplicationsFonction affineFonction carréFonction inverseSecond degréFonction homographiqueÉquationsInéquationsStatistiquesProbabilitésVecteursRepérage dans le planÉquation de droitesSystèmes d'équationsTrigonométrieGéométrie dans l'espaceTriangles isométriques, Triangles semblablesQ.C.M

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.