contrôle commun 27 avril 2006

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\displaystyle \frac{5-2x}{3x-1}}⩾0$

Le quotient ${\displaystyle \frac{5-2x}{3x-1}}$ n'est pas défini pour $3x-1=0$, soit $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Étudions le signe des deux termes du quotient , $$\begin{array}{lclccl}3x-1>0\iff x>{\displaystyle \frac{1}{3}}& \text{et}& 5-2x>0& \iff & -2x>-5& \\ & & & \iff & x<{\displaystyle \frac{5}{2}}& \text{multiplication par un réel négatif.}\end{array}$$

On dresse le tableau de signes :

x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{3}}$		${\displaystyle \frac{5}{2}}$		$+\infty$
$5-2x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
$3x-1$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
${\displaystyle \frac{5-2x}{3x-1}}$		−	$\left|\right|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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Ainsi, ${\displaystyle \frac{5-2x}{3x-1}}⩾0$ pour tout réel x de l'intervalle $\left]{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$

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