contrôle commun 27 avril 2006

Corrigé de l'exercice 3

1. Les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{CDB}$ sont-ils égaux ?

   Considérons les triangles AOB et DOC :

   • Les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{DOC}$ sont opposés par le sommet alors, $\widehat{AOB}=\widehat{DOC}$.

   • D'autre part, $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OD}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,8}}{\mathrm{1,9}}}=2& \text{et}& {\displaystyle \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,2}}{\mathrm{3,6}}}=2\end{array}$$

   Ainsi, $\widehat{AOB}=\widehat{DOC}$ et ${\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OD}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}}$ , d'après le théorème :

   Si dans deux triangles, un angle de l'un est égal à un angle de l'autre et les côtés adjacents à cet angle sont respectivement proportionnels alors ces deux triangles sont semblables.

   les triangles AOB et DOC sont semblables donc leurs angles homologues sont égaux.

   D'où l'égalité $\widehat{CAB}=\widehat{CDB}$.

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2. Comparer les aires des triangles AOB et DOC.

   Les triangles AOB et DOC sont semblables et le rapport de similitude est $${\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OD}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OC}}}=2$$ donc, $${\displaystyle \frac{\text{Aire}\left(AOB\right)}{\text{Aire}\left(DOC\right)}}=2^2$$

   L'aire du triangle AOB est égale à 4 fois l'aire du triangle DOC.

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