contrôle du 15 mai 2007

Corrigé de l'exercice 4

1. Compléter le tableau :

   • L'effectif d'une classe est égal à l'aire du rectangle ayant pour base l'amplitude de la classe.
   • L'effectif total est égal à 800.
   • La fréquence d'une classe est égale au quotient de l'effectif de la classe par 800.

   Classes	$\left[100;160\right[$	$\left[160;210\right[$	$\left[210;230\right[$	$\left[230;270\right[$	$\left[270;300\right[$	$\left[300;360\right]$
   Effectifs	180	200	140	160	60	60
   Fréquences	0,225	0,25	0,175	0,2	0,075	0,075

2. Calculer la moyenne de cette série.

   Dans le cas d'une variable statistique continue, la moyenne est calculée avec les centres des classes

   Classes	$\left[100;160\right[$	$\left[160;210\right[$	$\left[210;230\right[$	$\left[230;270\right[$	$\left[270;300\right[$	$\left[300;360\right]$
   Centres : $x_i={\displaystyle \frac{a_i+b_i}{2}}$	130	185	220	250	285	330
   Fréquences	0,225	0,25	0,175	0,2	0,075	0,075

   La moyenne de cette série est :$$\overline{x}=130\times \mathrm{0,225}+185\times \mathrm{0,25}+220\times \mathrm{0,175}+250\times \mathrm{0,2}+285\times \mathrm{0,075}+330\times \mathrm{0,075}=\mathrm{210,125}$$

   La moyenne de cette série est égale à 210,125.

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3. Dans quel intervalle se trouve la médiane ?

   La médiane de cette série correspondant à effectif cumulé égal à 400 est dans l'intervalle $\left[210;230\right[$.

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4. On suppose que les valeurs de la série sont uniformément réparties à l'intérieur de chaque classe, calculer la valeur de la médiane par interpolation linéaire.

   La médiane est l'abscisse du point de la droite passant par les points $A\left(210;380\right)$ et $B\left(230;520\right)$ dont l'ordonnée est égale à 400.

   La droite (AB) a pour équation, $y=mx+p$ avec $$\begin{array}{lllll}m& =& {\displaystyle \frac{520-380}{230-210}}& =& 7\end{array}$$

   Comme $A\left(210;380\right)$ est un point de la droite (AB), nous obtenons la relation $$\begin{array}{ccc}y=7\left(x-210\right)+380& \iff & y=7x-1090\end{array}$$

   La médiane est la valeur associé à un effectif cumulé égal à 400 d'où x est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}7x-1090=400& \iff & x={\displaystyle \frac{1490}{7}}\end{array}$$

   La médiane de cette série est $M_e={\displaystyle \frac{1490}{7}}\approx \mathrm{212,857}$.

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