contrôle du 15 mai 2007

Corrigé de l'exercice 5

1. Déterminer la médiane et la moyenne de cette série statistique.

   L'effectif total est $N=25$.

   • La médiane est la valeur du caractère de rang 13 soit $M_e=6$.
   • La moyenne est :$$\overline{x}={\displaystyle \frac{4\times \left(-5\right)+5\times \left(-2\right)+5\times 6+6\times 10+5\times 13}{25}}=5$$

   La médiane est $M_e=6$ et la moyenne est $\overline{x}=5$.

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2. Soit S la fonction définie sur $ℝ$ par :$$S\left(x\right)=4{\left(x+5\right)}^2+5{\left(x+2\right)}^2+5{\left(x-6\right)}^2+6{\left(x-10\right)}^2+5{\left(x-13\right)}^2$$

   1. Vérifier que $S\left(x\right)=25x^2-250x+1745$.

      $$\begin{array}{l}S\left(x\right)=4{\left(x+5\right)}^2+5{\left(x+2\right)}^2+5{\left(x-6\right)}^2+6{\left(x-10\right)}^2+5{\left(x-13\right)}^2\\ S\left(x\right)=4\left(x^2+10x+25\right)+5\left(x^2+4x+4\right)+5\left(x^2-12x+36\right)+6\left(x^2-20x+100\right)+5\left(x^2-26x+169\right)\\ S\left(x\right)=4x^2+5x^2+5x^2+6x^2+5x^2+40x+20x-60x-120x-130x+100+20+180+600+845\\ S\left(x\right)=25x^2-250x+1745\end{array}$$

      Ainsi, S est la fonction définie sur $ℝ$ par $S\left(x\right)=25x^2-250x+1745$.

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   2. Déterminer les réels a et b tels que $S\left(x\right)=a{\left(x-5\right)}^2+b$.

      Pour tout réel x: $$\begin{array}{rcl}25x^2-250x+1745& =& 25\times \left(x^2-10x\right)+1745\\ & =& 25\times \left[{\left(x-5\right)}^2-25\right]+1745\\ & =& 25{\left(x-5\right)}^2-625+1745\\ & =& 25{\left(x-5\right)}^2+1120\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel a, $S\left(x\right)=25{\left(x-5\right)}^2+1120$.

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   3. Montrer que la fonction S admet un minimum.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\left(x-5\right)}^2⩾0& \iff & 25{\left(x-5\right)}^2⩾0\\ & \iff & 25{\left(x-5\right)}^2+1120⩾1120\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $S\left(x\right)⩾1120$. Or $S\left(5\right)=1120$.

      Pour tout réel x, $S\left(x\right)⩾1120$ et $S\left(5\right)=1120$ alors la fonction S admet un minimum égal à 1120 atteint pour $x=5$.

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