contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 3

1. Montrer que les triangles ABH et CAH sont semblables.

   (AH) est la hauteur issue de A donc les triangles BAH et ACH sont rectangles en H.

   ABC est un triangle rectangle en A donc les angles $\widehat{\mathrm{BAH}}$ et $\widehat{\mathrm{HAC}}$ sont complémentaires. $$\begin{array}{ccc}\widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{HAC}}& =& 90°\end{array}$$

   BAH est un triangle rectangle en H donc les angles $\widehat{\mathrm{BAH}}$ et $\widehat{\mathrm{HBA}}$ sont complémentaires. $$\begin{array}{ccc}\widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{HBA}}& =& 90°\end{array}$$

   Ainsi, $$\begin{array}{ccc}\widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{HAC}}=\widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{HBA}}& \iff & \widehat{\mathrm{HAC}}=\widehat{\mathrm{HBA}}\end{array}$$

   Les triangles BAH et ACH ayant deux angles respectivement de même mesure sont semblables.

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2. Calculer AH.

   D'après la première question, les triangles BAH et ACH sont semblables donc : $$\begin{array}{lcl}{\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{CH}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{AH}}}& \Rightarrow & {\mathrm{AH}}^2=\mathrm{BH}\times \mathrm{CH}\\ & \text{Soit}& {\mathrm{AH}}^2=3\times 4=12\end{array}$$

   $\mathrm{AH}=2\sqrt{3}$

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