contrôle du 20 octobre 2007

exercice 1

ABCD est un quadrilatère inscrit dans le cercle $𝒞$.

1. En considérant les triangles MDB et MCA, démontrer que $\mathrm{MC}\times \mathrm{MB}=\mathrm{MD}\times \mathrm{MA}$.

2. Démontrer que $\mathrm{IA}\times \mathrm{IC}=\mathrm{IB}\times \mathrm{ID}$.

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exercice 2

On considère un carré ABCD. E est un point du segment $\left[\mathrm{AB}\right]$ et F est le point du segment $\left[\mathrm{BC}\right]$ tel que $\mathrm{AE}=\mathrm{BF}$.

Démontrer que $\mathrm{EC}=\mathrm{DF}$.

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exercice 3

ABC est un triangle rectangle en A. (AH) est la hauteur issue de A. On donne $BH=3$ et $HC=4$.

1. Montrer que les triangles ABH et CAH sont semblables.

2. Calculer AH.

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exercice 4

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations :

1. $5\left(2-x\right)⩽1-3x$

2. ${\displaystyle \frac{x-3}{2}}-{\displaystyle \frac{3x+2}{3}}<{\displaystyle \frac{5}{6}}$

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