contrôle du 20 octobre 2007

Corrigé de l'exercice 4

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations :

1. $5\left(2-x\right)⩽1-3x$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lcrcll}5\left(2-x\right)⩽1-3x& \iff & 10-5x& ⩽& 1-3x& \\ & \iff & 3x-5x& ⩽& 1-10& \\ & \iff & -2x& ⩽& -9& \\ & \iff & x& ⩾& {\displaystyle \frac{9}{2}}& \text{Multiplication par un réel négatif}\end{array}$$

   D'où l'ensemble solution de l'inéquation est l'intervalle $S=\left[{\displaystyle \frac{9}{2}};+\infty \right[$

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2. ${\displaystyle \frac{x-3}{2}}-{\displaystyle \frac{3x+2}{3}}<{\displaystyle \frac{5}{6}}$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lcrcll}{\displaystyle \frac{x-3}{2}}-{\displaystyle \frac{3x+2}{3}}<{\displaystyle \frac{5}{6}}& \iff & {\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}-x-{\displaystyle \frac{2}{3}}& <& {\displaystyle \frac{5}{6}}& \\ & \iff & -{\displaystyle \frac{x}{2}}& <& {\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}& \\ & \iff & -{\displaystyle \frac{x}{2}}& <& 3& \\ & \iff & x& >& -6& \text{Multiplication par un réel négatif}\end{array}$$

   D'où l'ensemble solution de l'inéquation est l'intervalle $S=\left]-6;+\infty \right[$

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