contrôle du 22 septembre 2008

Corrigé de l'exercice 4

1. Le réel $a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ est-il solution de l'équation $x^2-x-1=0$ ?

   $$\begin{array}{rcl}{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}-1& =& {\displaystyle \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}}-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}-1\\ & =& {\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}-2-2\sqrt{5}-4}{4}}\\ & =& 0\end{array}$$

   Ainsi, pour $x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$, $x^2-x-1=0$ donc

   ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ est une solution de l'équation $x^2-x-1=0$.

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2. Soit  le réel $b={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$, vérifier que $1+{\displaystyle \frac{1}{b}}=b$.

   $$\begin{array}{rcl}1+{\displaystyle \frac{1}{b}}& =& 1+{\displaystyle \frac{2}{1-\sqrt{5}}}\\ & =& 1+{\displaystyle \frac{2\times \left(1+\sqrt{5}\right)}{\left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}}\\ & =& 1+{\displaystyle \frac{2+2\sqrt{5}}{1-5}}\\ & =& 1-{\displaystyle \frac{2+2\sqrt{5}}{4}}\\ & =& 1-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2-1-\sqrt{5}}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\end{array}$$

   Si $b={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$, alors $1+{\displaystyle \frac{1}{b}}=b$.

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3. L'opposé du réel b est-il égal à l'inverse du réel a ?

   $$\begin{array}{rcl}-b\times a& =& -{\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\times {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\ & =& -{\displaystyle \frac{\left(1-\sqrt{5}\right)\left(1+\sqrt{5}\right)}{4}}\\ & =& -{\displaystyle \frac{1-5}{4}}\\ & =& 1\end{array}$$

   $-b\times a=1$, donc l'opposé du réel b est égal à l'inverse du réel a.

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