contrôle du 22 septembre 2008

exercice 1

Simplifier l'écriture des rationnels suivants, puis indiquer lesquels sont des décimaux :

$a={\displaystyle \frac{2^3\times 3^2\times 5^3}{2^2\times 3\times 5^4}}$ ; $b={\displaystyle \frac{7^{-2}\times 3\times {11}^{-3}}{7^{-3}\times 3^2\times {11}^{-2}}}$ ; $c={\displaystyle \frac{2^3\times {10}^{-4}-3^2\times {10}^{-3}}{41\times {10}^{-3}}}$

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exercice 2

1. Quel nombre faut-il ajouter au numérateur de la fraction ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ pour obtenir l'inverse  de ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ?

2. Quel nombre faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ pour obtenir l'opposé de ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ?

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exercice 3

Pour chacun des nombres suivants, simplifier l'écriture puis, en déduire le plus petit ensemble $\left(\mathbb{N}\text{, }\mathbb{Z}\text{, }\mathbb{Q}\text{ ou }ℝ\right)$ auquel il appartient :

$A={\displaystyle \frac{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2}{2-\sqrt{3}}}$; $B={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}-\sqrt{8}}}$; $C={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}$; $D={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{20}-\sqrt{45}}{\sqrt{180}}}$; $E={\left(\sqrt{4-\sqrt{12}}-\sqrt{4+\sqrt{12}}\right)}^2$.

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exercice 4

1. Le réel $a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ est-il solution de l'équation $x^2-x-1=0$ ?

2. Soit  le réel $b={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$, vérifier que $1+{\displaystyle \frac{1}{b}}=b$.

3. L'opposé du réel b est-il égal à l'inverse du réel a ?

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exercice 5

1. Montrer que pour tout entier n, le réel $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$ est l'inverse du réel $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

2. En déduire la valeur de $A={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{1}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}}$

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