contrôle du 18 janvier 2010

Corrigé de l'exercice 3

Dans le plan muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on donne les points $A\left(-1;1\right)$, $B\left(2;1\right)$ et $C\left(-2;3\right)$.

1. Déterminer les coordonnées du point M tel que $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC}$

   Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ sont : $$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{BC}\left(x_C-x_B;y_C-y_B\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{BC}\left(-4;2\right)\end{array}$$

   Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ sont : $$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{AM}\left(x_M-x_A;y_M-y_A\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AM}\left(x_M+1;y_M-1\right)\end{array}$$

   $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC}$ si, et seulement si, $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{l}{x}_M+1=2\times \left(-4\right)\\ y_M-1=2\times 2\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}{x}_M=-9\\ y_M=5\end{array}\end{array}$$

   Le point M a pour coordonnées $M\left(-9;5\right)$

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2. Déterminer les coordonnées du point P tel que $\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}$

   Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}\text{, }\overrightarrow{BC}\text{ et }\overrightarrow{BP}$ sont respectivement $\overrightarrow{BA}\left(-3;0\right)$, $\overrightarrow{BC}\left(-4;2\right)$ et $\overrightarrow{BP}\left(x_P-2;y_P-1\right)$

   $\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}$ si, et seulement si, $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{l}-3+2\times \left(-4\right)+{\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left(x_P-2\right)=0\\ 0+2\times 2+{\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left(y_P-1\right)=0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}_P=14\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}{y}_P=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}{x}_P={\displaystyle \frac{28}{3}}\\ y_P=-{\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}\end{array}$$

   Le point P a pour coordonnées $P\left({\displaystyle \frac{28}{3}};-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$

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3. Les points B, M et P sont-ils alignés ?

   $\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC}$ donc $$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}& \iff & \overrightarrow{BM}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}& \iff & \overrightarrow{BM}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{BP}\end{array}$$

   Les vecteurs $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{BP}$ sont colinéaires donc les points B, M et P sont alignés .

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