contrôle du 18 janvier 2010

Corrigé de l'exercice 4

1. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)=-6$ et $g\left({\displaystyle \frac{9}{4}}\right)=3$.

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      g est une fonction affine alors pour tout réel x, $g\left(x\right)=ax+b$ avec : $$a={\displaystyle \frac{g\left({\displaystyle \frac{9}{4}}\right)-g\left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)}{{\displaystyle \frac{9}{4}}-\left(-{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)}}={\displaystyle \frac{3+6}{{\displaystyle \frac{9}{2}}}}=2$$

      D'où pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)=2\times \left(x-{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)+g\left({\displaystyle \frac{9}{4}}\right)& \iff & g\left(x\right)=2x-{\displaystyle \frac{9}{2}}+3\\ & \iff & g\left(x\right)=2x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=2x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annexe.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D d'équation $y=2x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. Cette droite passe par les points de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{9}{4}};-6\right)$ et $\left(-{\displaystyle \frac{9}{4}};3\right)$.

2. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}-6$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. La courbe $C_f$ est tracée dans le repère orthogonal donné en annexe.

   1. Factoriser $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& \left(x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}-6\right)-\left(2x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\\ & =& x^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{9}{2}}\\ & =& {\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{9}{16}}-{\displaystyle \frac{9}{2}}\\ & =& {\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{81}{16}}\\ & =& \left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)\\ & =& \left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

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   2. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Étudions le signe du produit $\left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		3		$+\infty$
      Signe de $x-3$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Signe de $\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   3. En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et D.

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      • Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$ ou $\left[3;+\infty \right[$, la courbe $C_f$ est au dessus de la droite D.
      • Sur l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};3\right]$, la courbe $C_f$ est au dessous de la droite D.
      • La droite D coupe la courbe $C_f$ en deux points d'abscisses respectives $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ et 3.

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