contrôle du 01 avril 2011

Corrigé de l'exercice 1

La courbe $C_f$ représentative d'une fonction f a pour équation $y={\displaystyle \frac{4x+1}{2x-3}}$. La courbe $C_f$ est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous.

1. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

      f est définie pour tout réel x tel que $2x-3\ne 0$, soit pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$.

      L'ensemble de définition de la fonction f est $D_f=\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[\cup \left]{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$

      ---

   2. En quel(s) point(s) la courbe $C_f$ coupe-t-elle l'axe des ordonnées ; l'axe des abscisses ?

      • $f\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.
        Donc la courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point $\left(0;-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$

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      • $\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& \iff & 4x+1=0\text{ et }x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$. Soit $\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& \iff & x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$.
        La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point $\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}};0\right)$

   3. Déterminer les réels a et b tels que $f\left(x\right)=a+{\displaystyle \frac{b}{2x-3}}$.

      Pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$ , $$a+{\displaystyle \frac{b}{2x-3}}={\displaystyle \frac{2ax-3a+b}{2x-3}}$$

      Par conséquent, ${\displaystyle \frac{2ax-3a+b}{2x-3}}={\displaystyle \frac{4x+1}{2x-3}}$ pour a et b sont solutions du système :$$\{\begin{array}{c}2a=4\\ -3a+b=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=2\\ b=7\end{array}$$

      Ainsi , pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$, $f\left(x\right)=2+{\displaystyle \frac{7}{2x-3}}$

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   4. 2 a-t-il un antécédent par f ?

      $\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=2& \iff & 2+{\displaystyle \frac{7}{2x-3}}=2\text{ et }x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$. Soit $\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=2& \iff & {\displaystyle \frac{7}{2x-3}}=0\text{ et }x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$.

      Or pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$, ${\displaystyle \frac{7}{2x-3}}\ne 0$ d'où $f\left(x\right)\ne 2$.

      L'équation $f\left(x\right)=2$ n'a pas de solution donc 2 n'a pas d'antécédent par f.

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   5. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$.

      • méthode 1 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$ tels que $a<b$ : $$\begin{array}{ccc}a<b<{\displaystyle \frac{3}{2}}& \iff & a-{\displaystyle \frac{3}{2}}<b-{\displaystyle \frac{3}{2}}<0\end{array}$$

        Comme sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right[$, la fonction inverse est strictement décroissante alors, ${\displaystyle \frac{1}{a-{\displaystyle \frac{3}{2}}}}>{\displaystyle \frac{1}{b-{\displaystyle \frac{3}{2}}}}$ Soit ${\displaystyle \frac{2}{2a-3}}>{\displaystyle \frac{2}{2b-3}}$.
        D'où ${\displaystyle \frac{7}{2a-3}}>{\displaystyle \frac{7}{2b-3}}$ et donc $2+{\displaystyle \frac{7}{2a-3}}>2+{\displaystyle \frac{7}{2b-3}}$

        Ainsi, si $a<b<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ alors $f\left(b\right)<f\left(a\right)$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$.

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      • méthode 2 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$ tels que $a<b$ : $$\begin{array}{lll}f\left(a\right)-f\left(b\right)& =& {\displaystyle \frac{7}{2a-3}}-{\displaystyle \frac{7}{2b-3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{7\times \left(2b-3\right)-7\times \left(2a-3\right)}{\left(2a-3\right)\times \left(2b-3\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(14b-21\right)-\left(14a-21\right)}{\left(2a-3\right)\times \left(2b-3\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{14b-14a}{\left(2a-3\right)\times \left(2b-3\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{14\times \left(b-a\right)}{\left(2a-3\right)\times \left(2b-3\right)}}\end{array}$$

        Étudions le signe de $f\left(a\right)-f\left(b\right)={\displaystyle \frac{14\times \left(b-a\right)}{\left(2a-3\right)\times \left(2b-3\right)}}$ sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$ : $$\begin{array}{ccc}\text{Si }a<b<{\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{alors}& \{\begin{array}{lll}b-a>0& \text{d'où}& 14\times \left(b-a\right)>0\\ & \text{et}& \\ 2a-3<2b-3<0& \text{d'où}& \left(2a-3\right)\times \left(2b-3\right)>0\end{array}\end{array}$$

        Ainsi, si $a<b<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ alors $f\left(a\right)-f\left(b\right)>0$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$.

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   6. En déduire un encadrement de $f\left(x\right)$ si $x\in \left[-1;1\right]$.

      La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$ donc si $x\in \left[-1;1\right]$ alors $f\left(1\right)⩽f\left(x\right)⩽f\left(-1\right)$. Soit $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{4+1}{-1}}⩽f\left(x\right)⩽{\displaystyle \frac{-4+1}{-5}}& \iff & -5⩽f\left(x\right)⩽{\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}$$

      Si $x\in \left[-1;1\right]$ alors $-5⩽f\left(x\right)⩽{\displaystyle \frac{3}{5}}$ .

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2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=-11$ et $g\left(8\right)=9$.

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(8\right)-g\left(-2\right)}{8-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{9+11}{10}}=2\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=2x+b$. Or $g\left(8\right)=9$ d'où $$16+b=9\iff b=-7$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=2x-7$.

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annexe.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D passant par les points de coordonnées $\left(-2;-11\right)$ et $\left(8;9\right)$

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3. 1. Vérifier que $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{-4\left(x^2-6x+5\right)}{2x-3}}$.

      Pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4x+1}{2x-3}}-\left(2x-7\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{4x+1-\left(2x-7\right)\left(2x-3\right)}{2x-3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4x+1-4x^2+6x+14x-21}{2x-3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-4x^2+24x-20}{2x-3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-4\times \left(x^2-6x+5\right)}{2x-3}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{-4\left(x^2-6x+5\right)}{2x-3}}$.

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   2. Étudier les positions relatives des courbes $C_f$ et D.

      Les positions relatives de l'hyperbole $C_f$ et de la droite D se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Or pour tout réel x :$$\begin{array}{rcl}{x}^2-6x+5& =& \left[{\left(x-3\right)}^2-9\right]+5\\ & =& {\left(x-3\right)}^2-4\\ & =& \left(x-3-2\right)\left(x-3+2\right)\\ & =& \left(x-5\right)\left(x-1\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{-4\times \left(x-5\right)\left(x-1\right)}{2x-3}}$. Étudions le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau :

      x	$-\infty$		1		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		5		$+\infty$
      Signe de $-4\times \left(x-5\right)$		+	$|$	+		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Signe de $\left(x-1\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+		+	$|$	+
      Signe de $\left(2x-3\right)$		−	$|$	−		+	$|$	+
      Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      • Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;1\right]$ ou $\left]{\displaystyle \frac{3}{2}};5\right]$ l'hyperbole $C_f$ est au dessus de la droite D.
      • Sur chacun des intervalles $\left[1;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$ ou $\left[5;+\infty \right[$ l'hyperbole $C_f$ est au dessous de la droite D.

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   3. Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et D.

      D'après l'étude précédente, l'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$ est $S=\left\{1;5\right\}$.

      Comme $g\left(1\right)=-5$ et $g\left(5\right)=3$, on en déduit :

      La droite D coupe la courbe $C_f$ en deux points de coordonnées respectives $\left(1;-5\right)$ et $\left(5;3\right)$.

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