contrôle du 20 novembre 2010

exercice 1

Dans une caisse cubique, on empile des boules de 6cm de rayon comme l'indique le dessin ci-dessous.

1. Combien de boules contient la caisse ?

2. Quel est le volume de la caisse qui contient exactement cet empilement de boules ?

3. Le pourcentage du volume la caisse occupé par les boules est-il inférieur 52 % ?
   Rappel : Volume d'une sphère de rayon r :$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \pi \times r^3$

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exercice 2

SABC est un tétraèdre. I est le milieu de [SA], J est le milieu de [SC] et K est un point de [SB] distinct du milieu de ce segment. N est le point d'intersection des droites (JK) et (BC).

1. Placer sur la figure, le point M intersection de la droite (IK) avec le plan (ABC).

2. Soit d la droite d'intersection des plans (ABC) et (IJK).

   1. Montrer que N est un point de la droite d.

   2. Tracer la droite d sur la figure.

3. Montrer que la droite (IJ) est parallèle au plan (ABC).

4. Montrer que les droites (AC) et d sont parallèles.

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exercice 3

Soit f et g les fonctions définies sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=3-2x$ et $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}-1$.

1. Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g dans le plan muni d'un repère.

2. Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux courbes.

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exercice 4

Le tableau ci-dessous, donne le signe d'une fonction définie sur $ℝ$ .

x	$-\infty$		−2		$+\infty$
$\Gamma \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui admettent le même tableau de signes ?

$f\left(x\right)=-x+2$ ; $g\left(x\right)=-1-{\displaystyle \frac{x}{2}}$ ; $h\left(x\right)=x^2+4$ ; $k\left(x\right)=2x+4$ ; $l\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2x}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}$

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exercice 5

Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine f puis donner son sens de variation :

1. $f\left(-2\right)=3$ et $f\left(3\right)=-1$

2. La droite représentant la fonction f passe par les points de coordonnées $\left(-2;-1\right)$ et $\left(1;3\right)$.

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exercice 6

Soit g la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{65}{4x}}$. Sa courbe représentative $C_g$ est tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. 1. Calculer les images des réels 130 et ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

   2. Quels sont les antécédents éventuels par g de 0 et de 5 ?

2. Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x}{13}}$.

   1. Tracer dans le repère précédent, la droite D représentative de la fonction f .

   2. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽2$

3. Résoudre dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

4. À l'occasion d'une kermesse, le responsable souhaite organiser une tombola pour laquelle chaque billet donne droit à un lot.
   L'organisateur estime que pour un prix de vente de x euros du billet :

   • le nombre de centaines de lots qu'il peut offrir est modélisé par la fonction f ;
   • le nombre de centaines de personnes susceptibles d'acheter un billet est modélisé par la fonction g.

   1. Selon cette estimation, pour que chaque billet donne droit à un lot, quel devrait être le prix de vente d'un billet ?

   2. Quel est alors le montant en euros de la recette que l'organisateur peut espérer ?

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