contrôle du 04 mars 2011

Exercice 1

On donne ci-dessous, le tableau des variations d'une fonction polynôme du second degré f définie sur ℝ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ (avec $a\ne 0$ ).
Dans chacun des cas, indiquer le signe de a et le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$.

Tableau Nº 1

Tableau Nº 2

x

$-\infty$

$-3$

$+\infty$

x

$-\infty$

$-1$

$+\infty$

$f\left(x\right)$

$-1$

$f\left(x\right)$

$-3$

Exercice 2

Une machine produit des pièces en grandes quantités, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles notés A et B.
On a constaté que parmi les pièces fabriquées, 9 % ont au moins le défaut A, 6 % ont au moins le défaut B et 5 % les deux défauts.

1. Calculer la probabilité qu'une pièce ait seulement le défaut A.

2. Calculer la probabilité qu'une pièce n'ait aucun défaut.

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Exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x-4$. On note $C_f$ sa courbe représentative.

1. Laquelle des deux paraboles tracées ci-dessous, ne peut pas être la courbe $C_f$ ?

2. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(x-\alpha \right)}^2+\beta$ où α et β sont deux réels à déterminer.

   2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

3. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=5$ et $g\left(6\right)=-7$. On note $C_g$ sa courbe représentative.

   1. Quelle est la nature de la courbe $C_g$ ? La tracer dans le repère précédent.

   2. Déterminer une expression de g en fonction de x.

4. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}\right]$.

   2. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$.

   3. Étudier les positions relatives des courbes $C_f$ et $C_g$.

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