contrôle du 29 janvier 2013

Corrigé de l'exercice 1

Dans le plan muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on considère les points $A\left(2;5\right)$ et $B\left(3;7\right)$.

1. Déterminer une équation de la droite (AB).

   Le vecteur $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite (AB). $M\left(x;y\right)$ est un point de la droite (AB) si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-2\\ y-5\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ sont colinéaires. Soit $$\begin{array}{ccc}2\times \left(x-2\right)-1\times \left(y-5\right)=0& \iff & 2x-4-y+5=0\\ & \iff & y=2x+1\hfill \end{array}$$

   La droite (AB) a pour équation $y=2x+1$.

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2. Soit D la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}+4$

   1. Déterminer un vecteur directeur de la droite D.

      Le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite D.

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   2. Montrer que les droites (AB) et D sont sécantes.

      $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite (AB) et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite D.

      Comme les vecteurs $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$ ne sont pas colinéaires donc les droites (AB) et D sont sécantes.

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   3. Calculer les coordonnées du point I intersection des droites (AB) et D.

      Les coordonnées $\left(x;y\right)$ du point I sont solutions du système : $$\begin{array}{ccccccc}\{\begin{array}{c}y=2x+1\\ y={\displaystyle \frac{x}{2}}+4\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}y=2x+1\hfill \\ 2x+1={\displaystyle \frac{x}{2}}+4\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}y=2x+1\hfill \\ {\displaystyle \frac{3x}{2}}=3\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}y=5\hfill \\ x=2\hfill \end{array}\end{array}$$

      Le point I a pour coordonnées $I\left(2;5\right)$.

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