contrôle du 29 janvier 2013

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]-6;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x+6}}$.
Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée en annexe ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1. 1. Calculer l'image de 3 par la fonction f.

      $$f\left(3\right)={\displaystyle \frac{3}{3+6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$

      3 a pour image ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ par la fonction f.

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   2. Quel est l'antécédent de 3 par la fonction f ?

      Pour tout réel $x\ne -6$ : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{3}{x+6}}=3& \iff & {\displaystyle \frac{3}{x+6}}-3=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{3-3\times \left(x+6\right)}{x+6}}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{-3x-15}{x+6}}=0\hfill \\ & \iff & -3x-15=0\text{ et }x+6\ne 0\hfill \\ & \iff & x=-5\hfill \end{array}$$ Comme $-5\in \left]-6;+\infty \right[$ alors :

      3 a pour antécédent $-5$ par la fonction f.

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2. Soient a et b deux réels tels que $-6<a<b$. Comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-6;+\infty \right[$.

   Soient a et b deux réels tels que $-6<a<b$ : $$\begin{array}{ccc}f\left(a\right)-f\left(b\right)& =& {\displaystyle \frac{3}{a+6}}-{\displaystyle \frac{3}{b+6}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{3\times \left(b+6\right)-3\times \left(a+6\right)}{\left(a+6\right)\left(b+6\right)}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{3b-3a}{\left(a+6\right)\left(b+6\right)}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{3\left(b-a\right)}{\left(a+6\right)\left(b+6\right)}}\hfill \end{array}$$

   Comme $-6<a<b$ alors : $a+6>0$, $b+6>0$ et $b-a>0$. Donc $f\left(a\right)-f\left(b\right)>0$.

   Ainsi, si a et b deux réels tels que $-6<a<b$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$. Donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-6;+\infty \right[$.

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3. Soit d la droite d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{3}}$.

   1. Tracer la droite d dans le repère précédent.

      La droite d passe par l'origine du repère et le point de coordonnées $\left(-3;1\right)$.

   2. Étudier le signe de $f\left(x\right)-\left(-{\displaystyle \frac{x}{3}}\right)$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-6;+\infty \right[$ :$$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-\left(-{\displaystyle \frac{x}{3}}\right)& =& {\displaystyle \frac{3}{x+6}}+{\displaystyle \frac{x}{3}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{9+x\times \left(x+6\right)}{3\left(x+6\right)}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{9+6x+x^2}{3\left(x+6\right)}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(x+3\right)}^2}{3\left(x+6\right)}}\hfill \end{array}$$

      Or pour tout réel x, ${\left(x+3\right)}^2⩾0$ et, si $x>-6$, $3\left(x+6\right)>0$. Donc sur l'intervalle $\left]-6;+\infty \right[$, $f\left(x\right)-\left(-{\displaystyle \frac{x}{3}}\right)⩾0$.

      x	$-6$			$-3$		$+\infty$
      Signe de $f\left(x\right)-\left(-{\displaystyle \frac{x}{3}}\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   3. En déduire les positions relatives de la courbe $C_f$ et de la droite d.

      La droite d coupe la courbe $C_f$ en un point de coordonnées $\left(-3;1\right)$. La courbe $C_f$ est au dessus de la droite d.

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4. La droite d coupe la droite Δ d'équation $x=-6$ en un point A. Calculer les coordonnées du point A.

   Les coordonnées $\left(x;y\right)$ du point A sont solutions du système : $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}x=-6\\ y=-{\displaystyle \frac{x}{3}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}x=-6\\ y=2\hfill \end{array}\end{array}$$

   Le point A a pour coordonnées $A\left(-6;2\right)$.

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5. 1. Déterminer une équation de la droite d′ parallèle à la droite d et passant par le point $B\left(-5;3\right)$.

      Les droites d et d′ sont parallèles, elles ont le même coefficient directeur. La droite d′ a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{3}}+p$. Comme B est un point de la droite d′, les coordonnées du point $B\left(-5;3\right)$ vérifient l'équation de la droite d′d'où : $$\begin{array}{ccc}-{\displaystyle \frac{-5}{3}}+p=3& \iff & p=3-{\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

      La droite d′ a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}$.

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   2. Le point $C\left(3;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ est-il un point d'intersection de la droite d′ et de la courbe $C_f$ ?

      $f\left(3\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ donc le point $C\left(3;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ appartient à la courbe $C_f$. D'autre part, $$-{\displaystyle \frac{3}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ Donc le point $C\left(3;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ appartient à la droite d′.

      Le point $C\left(3;{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ est un point d'intersection de la droite d′ et de la courbe $C_f$.

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6. Déterminer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

   ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

   Or les coordonnés des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont :$$\begin{array}{ccccccc}\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)& \text{;}& \overrightarrow{DC}\left(\begin{array}{c}{x}_C-x_D\\ y_C-y_D\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{DC}\left(\begin{array}{c}3-x_D\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}-y_D\end{array}\right)\end{array}$$

   Par conséquent, $$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}& \iff & \{\begin{array}{c}3-x_D=1\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}-y_D=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}{x}_D=2\hfill \\ y_D=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\end{array}$$

   Les coordonnées du point D sont $D\left(2;-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)$

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