contrôle du 31 janvier 2014

Corrigé de l'exercice 1

Déterminer un encadrement de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ dans chacun des cas :

1. $-\mathrm{0,25}⩽x<-\mathrm{0,2}$.

   Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right[$, la fonction inverse est strictement décroissante alors, $$\begin{array}{lll}-\mathrm{0,25}⩽x<-\mathrm{0,2}& \iff & -{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2}}}<{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,25}}}\\ & \iff & -5<{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽-4\end{array}$$

   Si $-\mathrm{0,25}⩽x<-\mathrm{0,2}$ alors, $-5<{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽-4$

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2. ${\displaystyle \frac{3}{4}}<x<1$

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, la fonction inverse est strictement décroissante alors, $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{3}{4}}<x<1& \iff & 1<{\displaystyle \frac{1}{x}}<{\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

   Si ${\displaystyle \frac{3}{4}}<x<1$ alors, $1<{\displaystyle \frac{1}{x}}<{\displaystyle \frac{4}{3}}$

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3. $x⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}$

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, la fonction inverse est strictement décroissante alors, $$\begin{array}{lllll}x⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{x}}>0& \text{et}& {\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   Si $x⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}$ alors, $0<{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}$

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4. $x⩽-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

   Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right[$, la fonction inverse est strictement décroissante alors, $$\begin{array}{lllll}x⩽-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{x}}<0& \text{et}& {\displaystyle \frac{1}{x}}⩾-2\end{array}$$

   Si $x⩽-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ alors, $-2⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}<0$

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