contrôle du 31 janvier 2014

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4-2x}{x+1}}$. La courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal est l'hyperbole $C_f$.

1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?

   f est définie pour tout réel x tel que $x+1\ne 0$, soit pour tout réel $x\ne -1$.

   L'ensemble de définition de la fonction f est $D=\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[$

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2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

   • $f\left(0\right)=4$. Donc la courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point $\left(0;4\right)$

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   • $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& \iff & 4-2x=0\text{ et }x\ne -1\\ & \iff & x=2\hfill \end{array}$$

     La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point $\left(2;0\right)$

3. 1. Déterminer le réel B tel que $f\left(x\right)=-2+{\displaystyle \frac{B}{x+1}}$

      $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-\left(-2\right)& =& {\displaystyle \frac{4-2x}{x+1}}+2\\ & =& {\displaystyle \frac{4-2x+2\times \left(x+1\right)}{x+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{6}{x+1}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel $x\ne -1$, $f\left(x\right)=-2+{\displaystyle \frac{6}{x+1}}$

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   2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$.

      • méthode 1 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ tels que $a<b$ : $$\begin{array}{ccc}a<b<-1& \iff & a+1<b+1<0\end{array}$$

        Comme sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right[$, la fonction inverse est strictement décroissante alors, ${\displaystyle \frac{1}{a+1}}>{\displaystyle \frac{1}{b+1}}$.
        D'où ${\displaystyle \frac{6}{a+1}}>{\displaystyle \frac{6}{b+1}}$ et donc $-2+{\displaystyle \frac{6}{a+1}}>-2+{\displaystyle \frac{6}{b+1}}$

        Ainsi, si $a<b<-1$ alors $f\left(b\right)<f\left(a\right)$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$.

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      • méthode 2 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ tels que $a<b$ : $$\begin{array}{lll}f\left(a\right)-f\left(b\right)& =& {\displaystyle \frac{4-2a}{a+1}}-{\displaystyle \frac{4-2b}{b+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(4-2a\right)\times \left(b+1\right)-\left(4-2b\right)\times \left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\times \left(b+1\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(4b+4-2ab-2a\right)-\left(4a+4-2ab-2b\right)}{\left(a+1\right)\times \left(b+1\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{6b-6a}{\left(a+1\right)\times \left(b+1\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{6\times \left(b-a\right)}{\left(a+1\right)\times \left(b+1\right)}}\end{array}$$

        Étudions le signe de $f\left(a\right)-f\left(b\right)={\displaystyle \frac{6\times \left(b-a\right)}{\left(a+1\right)\times \left(b+1\right)}}$ sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ : $$\begin{array}{ccc}\text{Si }a<b<-1& \text{alors}& \{\begin{array}{lll}b-a>0& \text{d'où}& 6\times \left(b-a\right)>0\\ & \text{et}& \\ a+1<b+1<0& \text{d'où}& \left(a+1\right)\times \left(b+1\right)>0\end{array}\end{array}$$

        Ainsi, si $a<b<-1$ alors $f\left(a\right)-f\left(b\right)>0$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$.

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   3. En déduire un encadrement de $f\left(x\right)$ si $x\in \left[-1201;-1001\right]$.

      La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ donc si $x\in \left[-1201;-1001\right]$ alors $f\left(-1001\right)⩽f\left(x\right)⩽f\left(-1201\right)$. Soit $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{4+2002}{-1000}}⩽f\left(x\right)⩽{\displaystyle \frac{4+2402}{-1200}}& \iff & -\mathrm{2,006}⩽f\left(x\right)⩽-\mathrm{2,005}\end{array}$$

      Si $x\in \left[-1201;-1001\right]$ alors $-\mathrm{2,006}⩽f\left(x\right)⩽-\mathrm{2,005}$ .

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4. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-8\right)=-6$ et $g\left(6\right)=1$.

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(6\right)-g\left(-8\right)}{6-\left(-8\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{1+6}{14}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}+b$. Or $g\left(6\right)=1$ d'où $$3+b=1\iff b=-2$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}-2$.

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annexe.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D passant par les points de coordonnées $\left(-8;-6\right)$ et $\left(6;1\right)$

5. 1. Montrer que pour tout réel $x\ne -1$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(3-x\right)\left(x+4\right)}{2x+2}}$.

      Pour tout réel $x\ne -1$ : $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4-2x}{x+1}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}+2\\ & =& {\displaystyle \frac{2\times \left(4-2x\right)-x\times \left(x+1\right)+2\times 2\times \left(x+1\right)}{2\times \left(x+1\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{8-4x-x^2-x+4x+4}{2x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-x^2-x+12}{2x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-\left(x^2+x-12\right)}{2x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-\left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}-12\right]}{2x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-\left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}\right]}{2x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)\times \left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}{2x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-\left(x-3\right)\times \left(x+4\right)}{2x+2}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel $x\ne -1$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(3-x\right)\left(x+4\right)}{2x+2}}$.

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   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection des deux courbes $C_f$ et D.

      Les abscisses des points d'intersection de l'hyperbole $C_f$ et de la droite D sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$.

      C'est à dire les réels x tels que $\left(3-x\right)\left(x+4\right)=0$ et $2x+2\ne 0$. Soit $x=3$ ou $x=-4$.

      D'autre part, $f\left(-4\right)=g\left(-4\right)=-2-2=-4$ et $f\left(3\right)=g\left(3\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}-2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

      La droite D coupe l'hyperbole $C_f$ en deux points de coordonnées $\left(-4;-4\right)$ et $\left(3;-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

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   3. Étudier les positions relatives des courbes courbes $C_f$ et D.

      Les positions relatives de l'hyperbole $C_f$ et de la droite D se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      x	$-\infty$		$-4$		$-1$		3		$+\infty$
      Signe de $\left(3-x\right)$		+	$|$	+		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Signe de $\left(x+4\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+		+	$|$	+
      Signe de $\left(2x+2\right)$		−	$|$	−		+	$|$	+
      Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      • Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-4\right]$ ou $\left]-1;3\right]$ l'hyperbole $C_f$ est au dessus de la droite D.
      • Sur chacun des intervalles $\left[-4;-1\right[$ ou $\left[3;+\infty \right[$ l'hyperbole $C_f$ est au dessous de la droite D.

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