contrôle du 31 janvier 2014

Corrigé de l'exercice 3

partie a

On considère les fonctions f et g définies pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[1;12\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x-4}{x+1}}$ et $g\left(x\right)=8-{\displaystyle \frac{x}{2}}$.

1. La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère.
   Tracer dans le même repère, la courbe $C_g$ représentative de la fonction g.

   La courbe $C_g$ représentative de la fonction g est un segment de droite d'extremités les points de coordonnées $\left(1;\mathrm{7,5}\right)$ et $\left(12;2\right)$.

2. Par lecture graphique, donner les coordonnées de leur point d'intersection E.

   Graphiquement, le point d'intersection des deux courbes a pour coordonnées $E\left(8;4\right)$

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partie b

1. On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 9 €.
   Comparer l'offre et la demande pour ce prix de vente. Quel problème cela pose-t-il ?

   $f\left(9\right)={\displaystyle \frac{45-4}{10}}=\mathrm{4,1}$ et $g\left(9\right)=8-\mathrm{4,5}=\mathrm{3,5}$

   Avec un prix de vente de 9 €, la quantité offerte par les producteurs est de 4,1 millions d'articles alors que la demande des consommateurs à ce prix est de 3,5 millions d'articles. L'offre est excédentaire ce qui entrainera une baisse du prix de vente.

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2. Calculer le prix de vente à partir duquel le nombre d'articles offerts sur le marché par les producteurs sera supérieur à 3,5 millions d'articles.

   Pour tout réel $x\ne -1$ :$$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{5x-4}{x+1}}⩾\mathrm{3,5}& \iff & {\displaystyle \frac{5x-4}{x+1}}-\mathrm{3,5}⩾0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{5x-4-\mathrm{3,5}x-\mathrm{3,5}}{x+1}}⩾0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}x-\mathrm{7,5}}{x+1}}⩾0\end{array}$$

   Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}x-\mathrm{7,5}}{x+1}}$ sur l'intervalle $\left[1;12\right]$

   x	1		$5\mathrm{}$		12
   $\mathrm{1,5}x-\mathrm{7,5}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $x+1$		+	$|$	+
   ${\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}x-\mathrm{7,5}}{x+1}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   Pour un prix de vente supérieur à 5 €, le nombre d'articles offerts sur le marché par les producteurs sera supérieur à 3,5 millions d'articles.

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3. On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.
   Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.

   $f\left(x\right)=g\left(x\right)\iff f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$. Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;12\right]$ solution de l'équation :$$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{5x-4}{x+1}}-8+{\displaystyle \frac{x}{2}}=0& \iff & {\displaystyle \frac{2\times \left(5x-4\right)-8\times 2\times \left(x+1\right)+x\times \left(x+1\right)}{2\times \left(x+1\right)}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{10x-8-16x-16+x^2+x}{2x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x^2-5x-24}{2x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}-24}{2x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{4}}}{2x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}+{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)}{2x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\left(x-8\right)\left(x+3\right)}{2x+2}}=0\end{array}$$

   Comme $x=8$ est la seule solution de l'équation ${\displaystyle \frac{\left(x-8\right)\left(x+3\right)}{2x+2}}=0$ comprise dans l'intervalle $\left[1;12\right]$, le prix d'équilibre est de 8 €.

   D'autre part, $f\left(8\right)=g\left(8\right)=8-{\displaystyle \frac{8}{2}}=4$.

   Le prix d'équilibre est de 8 €. À ce prix, l'offre et la demande sont égales 4 millions d'articles.

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