contrôle du 7 mars 2014

Corrigé de l'exercice 1

Soit $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$ un repère du plan.

1. On considère la droite 𝒟 passant par le point $A\left(4;1\right)$ et admettant pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$.

   1. Le point $B\left(2;-1\right)$ est-il un point de la droite 𝒟 ?

      Le point $B\left(2;-1\right)$ est un point de la droite 𝒟 si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$ sont colinéaires. Or $$\left(-2\right)\times \left(-1\right)-2\times \left(-2\right)\ne 0$$

      Les vecteurs $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$ ne sont pas colinéaires donc le point $B\left(2;-1\right)$ n'appartient pas à la droite 𝒟.

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   2. Déterminer une équation de la droite 𝒟.

      Comme $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de la droite 𝒟, le vecteur $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}1\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$ est aussi un vecteur directeur de la droite 𝒟. Par conséquent, la droite 𝒟 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+p$

      Comme $A\left(4;1\right)$ est un point de la droite 𝒟, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite 𝒟 d'où $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 4+p=1\iff p=3$$

      La droite 𝒟 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$.

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2. Soit Δ la droite passant par les points $E\left({\displaystyle \frac{3}{4}};0\right)$ et $F\left(6;{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$

   1. Déterminer une équation de la droite Δ.

      La droite Δ est l'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ du plan tels que les vecteurs $\overrightarrow{EM}\left(\begin{array}{c}x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{EF}\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{21}{4}}\\ {\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}\right)$ sont colinéaires. Soit $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{7}{2}}\times \left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)-{\displaystyle \frac{21}{4}}\times y=0& \iff & {\displaystyle \frac{7}{2}}x-{\displaystyle \frac{21}{4}}y-{\displaystyle \frac{21}{8}}=0\\ & \iff & 4x-6y=3\\ & \iff & y={\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      La droite Δ a pour équation $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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   2. Les droites 𝒟 et Δ sont elles parallèles ?

      Les coefficients directeurs des droites 𝒟 et Δ ne sont pas égaux donc les droites 𝒟 et Δ sont sécantes.

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3. Résoudre le système $S:\{\begin{array}{rcl}x+2y& =& 6\\ 4x-6y& =& 3\end{array}$. Interpréter graphiquement le résultat.

   $$\begin{array}{lllll}\{\begin{array}{c}x+2y=6\\ 4x-6y=3\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}x+2y=6\\ 7x=21\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}x=3\\ y={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\end{array}$$

   Le système S admet pour solution $\left(3{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$. Les coordonnées du point d'intersection des droites 𝒟 et Δ sont $\left(3;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

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