contrôle du 7 mars 2014

Corrigé de l'exercice 2

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2-3x+2$.

1. Donner le tableau des variations de la fonction f.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=1$, $b=-3$ et $c=2$.

   Comme $a>0$, la fonction f admet un minimum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $$x={\displaystyle \frac{3}{2}}$$

   Le minimum de la fonction f est : $$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2-3\times {\displaystyle \frac{3}{2}}+2=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$

   D'où le tableau des variations de de la fonction f :

   x	– ∞		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-\frac{1}{4}$

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2. La proposition « Si $0⩽x⩽3$ alors, $f\left(0\right)⩽f\left(x\right)⩽f\left(3\right)$ » est-elle vraie ou fausse ?

   Sur l'intervalle $\left[0;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$ la fonction f est décroissante donc si $0⩽x⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}$ alors, $f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)⩽f\left(x\right)⩽f\left(0\right)$.

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   Sur l'intervalle $\left[0;3\right]$ la fonction f n'est pas croissante donc la proposition est fausse.

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3. La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal. Laquelle des deux courbes $C_1$ ou $C_2$ est la courbe $C_f$ ?

   $f\left(0\right)=2$ donc la courbe $C_1$ est la seule des deux courbes susceptible d'être la courbe représentive de la fonction f.

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partie b

La deuxième courbe tracée en annexe, est la courbe $C_g$ représentative de la fonction g définie sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3-7x}{x+2}}$.

1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_g$ avec l'axe des abscisses.

   Les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_g$ avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation $g\left(x\right)=0$ Soit les réels $x>-2$ solution de l'équation $$\begin{array}{lllll}{\displaystyle \frac{x^3-7x}{x+2}}=0& \iff & {\displaystyle \frac{x\left(x^2-7\right)}{x+2}}=0& \iff & {\displaystyle \frac{x\left(x+\sqrt{7}\right)\left(x-\sqrt{7}\right)}{x+2}}=0\end{array}$$

   Les seules solutions comprises dans l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ sont $x=0$ et $x=\sqrt{7}$

   La courbe $C_g$ coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées $\left(0;0\right)$ et $\left(\sqrt{7};0\right)$

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2. Montrer que pour tout réel $x>-2$, $g\left(x\right)-f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x+2}}$.

   Pour tout réel $x>-2$ : $$\begin{array}{lll}g\left(x\right)-f\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{x^3-7x}{x+2}}-\left(x^2-3x+2\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{x^3-7x-\left(x^2-3x+2\right)\left(x+2\right)}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^3-7x-x^3-2x^2+3x^2+6x-7x-4}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2-3x-4}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{9}{4}}-4}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x+2}}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel $x>-2$, $g\left(x\right)-f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x+2}}$.

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3. Étudier les positions relatives des courbes courbes $C_f$ et $C_g$.

   Les positions relatives des courbes courbes $C_f$ et $C_g$ se déduisent du signe de $g\left(x\right)-f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x+2}}$

   x	$-2$			$-1$		4		$+\infty$
   Signe de $\left(x+1\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   Signe de $\left(x-4\right)$			−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $\left(x+2\right)$			+	$|$	+	$|$	+
   Signe de $g\left(x\right)-f\left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   • Sur chacun des intervalles $\left]-2;-1\right]$ ou $\left[4;+\infty \right[$ la courbe $C_g$ est au dessus de la parabole $C_f$.
   • Sur l'intervalle $\left[-1;4\right]$ la courbe $C_g$ est au dessous de la parabole $C_f$.
   • Les deux courbes se coupent en deux points de coordonnées $\left(-1;6\right)$ et $\left(4;6\right)$.

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