contrôle du 4 avril 2014

Corrigé de l'exercice 1

1. Recopier et compléter le commentaire suivant :
   «En 2011, la moitié des personnes ont un niveau de vie inférieur à … euros annuels en France, soit … euros par mois. Les 10 % des personnes les plus modestes de la population ont un niveau de vie inférieur à … euros. Les 10 % des personnes les plus aisées ont un niveau de vie supérieur à … euros soit … fois plus que le 1^er décile.»

   • Le cinquième décile est égal à 19 550 euros par conséquent, la moitié de la population a un niveau de vie annuel inférieur à 19 550 euros soit un niveau de vie de ${\displaystyle \frac{19550}{12}}\approx 1629$ euros par mois.

   • Le premier décile est égal à 10 530 euros par conséquent, 10 % de la population a un niveau de vie annuel inférieur à 10 530 euros

   • Le neuvième décile est égal à 37 450 euros par conséquent, 10 % de la population a un niveau de vie annuel supérieur à 37 450 euros. Le rapport inter-décile est : $${\displaystyle \frac{D_9}{D_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{37\; 450}}{\mathrm{10\; 530}}}\approx \mathrm{3,6}$$

   «En 2011, la moitié des personnes ont un niveau de vie inférieur à 19 550 euros annuels en France, soit 1 629 euros par mois. Les 10 % des personnes les plus modestes de la population ont un niveau de vie inférieur à 10 530 euros. Les 10 % des personnes les plus aisées ont un niveau de vie supérieur à 37 450 euros soit 3,6 fois plus que le 1^er décile.»

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2. Le niveau de vie annuel moyen est de 23 130 euros.
   Quel est l'indicateur du niveau de vie le plus pertinent, le niveau de vie moyen ou le niveau de vie médian ?

   $D_6<\mathrm{23\; 130}<D_7$ par conséquent, entre 60 % et 70 % de la population ont un niveau de vie inférieur à 23 130 euros.

   Plus de 60 % des personnes ont un niveau de vie inférieur au niveau de vie moyen donc l'indicateur du niveau de vie le plus pertinent est le niveau de vie médian.

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3. Le seuil de pauvreté monétaire est fixé à 60 % du niveau de vie médian.

   1. Calculer le montant mensuel du seuil de pauvreté monétaire.

      Le montant mensuel du seuil de pauvreté monétaire est :$${\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}\times \mathrm{19\; 550}}{12}}=\mathrm{977,5}$$

      Le montant du seuil de pauvreté monétaire est de 978 euros par mois.

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   2. On suppose qu'entre deux déciles successifs, le pourcentage de la population en fonction du montant du niveau de vie peut être modélisé à l'aide d'une fonction affine.
      Déterminer une estimation, arrondie à 0,1 % près, du pourcentage de la population qui vit en dessous du seuil de pauvreté monétaire.

      Le montant en euros du seuil de pauvreté monétaire est : $\mathrm{0,6}\times \mathrm{19\; 550}=\mathrm{11\; 7300}$ et, $D_1<\mathrm{11\; 730}<D_2$

      Soit f la fonction affine définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=ax+b$ telle que $f\left(10530\right)=10$ et $f\left(13160\right)=20$ d'où $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{f\left(13160\right)-f\left(10530\right)}{13160-10530}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{20-10}{2630}}={\displaystyle \frac{1}{263}}\end{array}$$

      Comme $f\left(10530\right)=10$, $${\displaystyle \frac{10530}{263}}+b=10\iff b=-{\displaystyle \frac{7900}{263}}$$

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{263}}-{\displaystyle \frac{7900}{263}}$, d'où : $$f\left(11730\right)={\displaystyle \frac{11730}{263}}-{\displaystyle \frac{7900}{263}}\approx \mathrm{14,6}$$

      Environ 14,6 % de la population vit en dessous du seuil de pauvreté monétaire.

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