contrôle du 4 avril 2014

Corrigé de l'exercice 4

La parabole 𝒫 tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormé, est la courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=a{\left(x-\alpha \right)}^2+\beta$.
La parabole passe par les points $A\left(0;6\right)$, $B\left(1;{\displaystyle \frac{13}{2}}\right)$ et $C\left(4;2\right)$.

1. Par lecture graphique, donner le tableau des variations de la fonction f.

   D'après sa courbe représentative, le tableau des variations de la fonction f est :

   x	– ∞		1		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			${\displaystyle \frac{13}{2}}$

2. Justifier que $\alpha =1$ et $\beta ={\displaystyle \frac{13}{2}}$

   Le point $B\left(1;{\displaystyle \frac{13}{2}}\right)$ est le sommet de la parabole 𝒫 donc $\alpha =1$ et $\beta ={\displaystyle \frac{13}{2}}$.

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3. Montrer que $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=a{\left(x-1\right)}^2+{\displaystyle \frac{13}{2}}$. Le point $A\left(0;6\right)$ appartient à la parabole 𝒫 donc $f\left(0\right)=6$ soit $$\begin{array}{ccc}a+{\displaystyle \frac{13}{2}}=6& \iff & a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\left(x-1\right)}^2+{\displaystyle \frac{13}{2}}$.

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4. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\left(x-1\right)}^2+{\displaystyle \frac{13}{2}}=0& \iff & -{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x-1\right)}^2-13\right]=0\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[\left(x-1-\sqrt{13}\right)\left(x-1+\sqrt{13}\right)\right]=0\\ & \iff & x-1-\sqrt{13}=0\text{ ou }x-1+\sqrt{13}=0\\ & \iff & x=1+\sqrt{13}\text{ ou }x=1-\sqrt{13}\end{array}$$

   L'ensemble S des solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ est $S=\left\{1-\sqrt{13};1+\sqrt{13}\right\}$.

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