contrôle du 4 avril 2014

Corrigé de l'exercice 3

On lance trois fois de suite un dé équilibré et on forme un nombre avec les résultats obtenus : par exemple, si on tire 4,3 et 3 on obtient : 433.

1. Combien de nombres différents peut-on obtenir ? Quelle est la probabilité d'obtenir 433 ?

   À chaque lancer du dé il y 6 résultats possibles. Par conséquent, le nombre de nombres de trois chiffres que l'on peut obtenir est : $$6\times 6\times 6=6^3=216$$

   Soit N le nombre obtenu, les 216 nombres étant tous différents, la probabilité d'obtenir 433 est $$P\left(N=433\right)={\displaystyle \frac{1}{216}}$$

   Avec ces trois lancers, on peut obtenir 216 nombres de trois chiffres différents. La probabilité d'obtenir 433 est égale à ${\displaystyle \frac{1}{216}}$.

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2. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre composé de trois chiffres tous différents ?

   Pour obtenir un nombre composé de trois chiffres différents au cours des trois lancers du dé :

   • il y a 6 choix possibles pour le premier chiffre obtenu au cours du premier lancer ;
   • à chacun de ces 6 choix, il ne reste plus que 5 choix possibles pour le deuxième chiffre lors du second lancer ;
   • au troisième lancer, il ne reste plus que 4 choix possibles pour le dernier chiffre.

   Il y a donc $6\times 5\times 4=120$ nombres possibles composés de trois chiffres différents.

   La probabilité d'obtenir un nombre composé de trois chiffres tous différents est ${\displaystyle \frac{120}{216}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$.

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3. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre composé seulement des chiffres 1 ou 2 ?

   À chacun des trois lancers du dé, il n'y a que deux issues possibles pour que le chiffre soit 1 ou 2 :$${\displaystyle \frac{2}{6}}\times {\displaystyle \frac{2}{6}}\times {\displaystyle \frac{2}{6}}={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{27}}$$

   La probabilité d'obtenir un nombre composé seulement des chiffres 1 ou 2 est égale à ${\displaystyle \frac{1}{27}}$.

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