contrôle du 30 mai 2014

Corrigé de l'exercice 4

La conjecture suivante est-elle vraie ?
« La somme d'un réel x strictement positif et de son inverse est supérieure ou égale à 2 ».

Soit $x>0$ un réel strictement positif. Pour comparer les réels $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ et 2, on étudie le signe de leur différence.

Pour tout réel $x>0$ :$$\begin{array}{ccccc}x+{\displaystyle \frac{1}{x}}-2& =& {\displaystyle \frac{x^2+1-2x}{x}}& =& {\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{x}}\end{array}$$

Étudions le signe du quotient ${\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{x}}$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ à l'aide d'un tableau :

x	0				1		$+\infty$
Signe de ${\left(x-1\right)}^2$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
Signe de x				+	$|$	+
Signe de ${\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{x}}$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

Ainsi, pour tout réel $x>0$, $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}-2⩾0\iff x+{\displaystyle \frac{1}{x}}⩾2$

L'affirmation « La somme d'un réel x strictement positif et de son inverse est supérieure ou égale à 2 » est vraie.

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