contrôles en seconde

contrôle du 14 octobre 2014

Corrigé de l'exercice 1

ABCD et AEFG sont deux carrés.

À tout réel x positif, la fonction f associe l'aire du polygone hachuré EFGBCD.
1. Donner une expression de $f (x)$ en fonction de x.
  L'aire du polygone hachuré EFGBCD est égale à la différence des aires des deux carrés ABCD et AEFG d'où : $f (x) = {(x + 3)}^{2} - x^{2} = 6 x + 9$
  f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (x) = 6 x + 9$ .
2. Pour quelle valeur du réel x l'aire du polygone EFGBCD est-elle égale à 33 ?
  $\begin{array}{l} f (x) = 33 & \Leftrightarrow & 6 x + 9 = 33 \\ \Leftrightarrow & 6 x = 24 \\ \Leftrightarrow & x = 4 \end{array}$
  L'aire du polygone EFGBCD est égale à 33 pour $x = 4$ .
À tout réel x positif, la fonction g associe le périmètre du polygone EFGBCD. Résoudre l'inéquation $f (x) ⩽ g (x)$ .
AEFG est un carré d'où $E A = F G$ et $E F = A G$ . Donc le périmètre du polygone EFGBCD est égal au périmètre du carré ABCD.
Par conséquent, pour tout réel x positif, $g (x) = 4 \times (x + 3)$
Pour tout réel x positif, $\begin{array}{l} f (x) ⩽ g (x) & \Leftrightarrow & 6 x + 9 ⩽ 4 \times (x + 3) \\ \Leftrightarrow & 6 x + 9 ⩽ 4 x + 12 \\ \Leftrightarrow & 2 x ⩽ 3 \\ \Leftrightarrow & x ⩽ \frac{3}{2} \end{array}$
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f (x) ⩽ g (x)$ est l'intervalle $S = [0; \frac{3}{2}]$ .

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