contrôle du 14 octobre 2014

Corrigé de l'exercice 2

1. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)}^2$. Sa courbe représentative, notée $C_f$, est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal en annexe.

   1. Le point $A\left(-1;3\right)$ appartient-il à la courbe $C_f$ ?

      $$f\left(-1\right)={\left(1+{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{49}{16}}$$

      $f\left(-1\right)\ne 3$ donc le point $A\left(-1;3\right)$ n'appartient pas à la courbe $C_f$.

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   2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=4$.

      $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)=4& \iff & {\left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)}^2=4\\ & \iff & {\left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)}^2-4=0\\ & \iff & \left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x-2\right)\left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+2\right)=0\\ & \iff & \left(-1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)\left(3-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)=0\\ & \iff & -1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x=0\text{ ou }3-{\displaystyle \frac{3}{4}}x=0\\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\text{ ou }x=4\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=4$ est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{4}{3}};4\right\}$.

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2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=10$ et $g\left(3\right)=-5$.

   1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(3\right)-g\left(-2\right)}{3-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{-5-10}{5}}=-3\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-3x+b$. Or $g\left(-2\right)=10$ d'où $$-3\times \left(-2\right)+b=10\iff b=4$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-3x+4$.

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   2. Quel est le sens de variation de la fonction g ?

      Comme $a<0$, la fonction g est strictement décroissante.

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   3. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annexe.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D passant par les points de coordonnées $\left(-2;10\right)$ et $\left(3;-5\right)$

3. 1. Montrer que pour tout réel x, $g\left(x\right)-f\left(x\right)=\left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)\left(3+{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)$.

      $$\begin{array}{lll}g\left(x\right)-f\left(x\right)& =& \left(-3x+4\right)-{\left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)}^2\\ & =& 4\times \left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)-{\left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)}^2\\ & =& \left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)\left(4-1+{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)\\ & =& \left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)\left(3+{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $g\left(x\right)-f\left(x\right)=\left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)\left(3+{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)$.

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   2. Étudier le signe de $g\left(x\right)-f\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau.

      Étudions le signe du produit $\left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)\left(3+{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)$ :

      $$\begin{array}{llllll}& 1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x⩽0& \iff & -{\displaystyle \frac{3}{4}}x⩽-1& \iff & x⩾{\displaystyle \frac{4}{3}}\\ \text{et}& 3+{\displaystyle \frac{3}{4}}x⩽0& \iff & {\displaystyle \frac{3}{4}}x⩽-3& \iff & x⩽-4\end{array}$$

      x	$-\infty$		$-4$		${\displaystyle \frac{4}{3}}$		$+\infty$
      Signe de $\left(1-{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Signe de $\left(3+{\displaystyle \frac{3}{4}}x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $g\left(x\right)-f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   3. En déduire l'intervalle sur lequel la droite D est au dessus de la courbe $C_f$.

      Les positions relatives de la droite D et de la courbe $C_f$ se déduisent du signe de $g\left(x\right)-f\left(x\right)$.

      Or $g\left(x\right)-f\left(x\right)⩾0$ pour tout réel x de l'intervalle $\left[-4;{\displaystyle \frac{4}{3}}\right]$ donc :

      La droite D est au dessus de la courbe $C_f$ sur l'intervalle $\left[-4;{\displaystyle \frac{4}{3}}\right]$.

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