contrôle du 29 janvier 2015

Corrigé de l'exercice 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, placer les points $A\left(-5;3\right)$, $B\left(3;7\right)$ et $C\left(-2;-8\right)$.

1. Centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

   1. Soit $M\left(x;y\right)$ un point de la droite D médiatrice du segment [AB].

      • Exprimer ${MA}^2$ et ${MB}^2$ en fonction de x et y.
      • En déduire une équation de la médiatrice D du segment [AB].

      ${MA}^2={\left(-5-x\right)}^2+{\left(3-y\right)}^2$ et ${MB}^2={\left(3-x\right)}^2+{\left(7-y\right)}^2$

      La médiatrice D du segment [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que $MA=MB$.

      Ainsi, $M\left(x;y\right)$ est un point de la médiatrice du segment [AB] si, et seulement si, ${MA}^2={MB}^2$. Soit :$$\begin{array}{lll}{\left(-5-x\right)}^2+{\left(3-y\right)}^2={\left(3-x\right)}^2+{\left(7-y\right)}^2& \iff & {\left(3-y\right)}^2-{\left(7-y\right)}^2={\left(3-x\right)}^2-{\left(-5-x\right)}^2\\ & \iff & \left(y^2-6y+9\right)-\left(y^2-14y+49\right)=\left(x^2-6x+9\right)-\left(x^2+10x+25\right)\\ & \iff & 8y-40=-16x-16\\ & \iff & 8y=-16x+24\\ & \iff & y=-2x+3\end{array}$$

      La médiatrice D du segment [AB] a pour équation $y=-2x+3$.

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   2. La médiatrice d du segment [BC] a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Calculer les coordonnées du point Ω centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

      Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le point d'intersection des médiatrices des trois côtés du triangle.

      Le couple $\left(x;y\right)$ des coordonnées du point Ω est solution du système :$$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{l}y=-2x+3\\ y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}y=-2x+3\\ -2x+3=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-2x+3\\ -{\displaystyle \frac{5}{3}}x=-{\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-2\times 2+3\\ x=2\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-1\\ x=2\end{array}\end{array}$$

      Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC a pour coordonnées $\mathrm{\Omega }\left(2;-1\right)$.

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2. Orthocentre du triangle ABC.

   1. Déterminer une équation de la hauteur (AA') du triangle ABC.

      La hauteur (AA') est perpendiculaire à la doite (BC) donc la droite (AA') est parallèle à la médiatrice d du segment [BC]. Par conséquent, les droites (AA') et d ont le même coefficient directeur.

      La droite (AA') a une équation réduite du type :$$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\times x+p$$

      Comme les coordonnées du point $A\left(-5;3\right)$ vérifient cette équation, on obtient :$$\begin{array}{ccc}3=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\times \left(-5\right)+p& \iff & p={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

      La hauteur (AA') du triangle ABC a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{4}{3}}$.

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   2. Déterminer une équation de la hauteur (CC') du triangle ABC.

      La hauteur (CC') est perpendiculaire à la doite (AB) donc la droite (CC') est parallèle à la médiatrice D du segment [AB]. Par conséquent, les droites (CC') et D ont le même coefficient directeur.

      Comme les coordonnées du point $C\left(-2;-8\right)$ vérifient cette équation, la droite (CC') a pour équation réduite : $$\begin{array}{ccccc}y=-2\times \left(x-x_C\right)+y_C& \text{Soit}& y=-2\times \left(x+2\right)-8& \iff & y=-2x-12\end{array}$$

      La hauteur (CC') du triangle ABC a pour équation $y=-2x-12$.

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   3. Calculer les coordonnées du point H orthocentre du triangle ABC.

      L'orthocentre du triangle ABC est le point d'intersection des trois hauteurs du triangle.

      Le couple $\left(x;y\right)$ des coordonnées du point H est solution du système :$$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{l}y=-2x-12\\ y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}y=-2x-12\\ -2x-12=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-2x-12\\ -{\displaystyle \frac{5}{3}}x={\displaystyle \frac{40}{3}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=-2\times \left(-8\right)-12\\ x=-8\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}y=4\\ x=-8\end{array}\end{array}$$

      L'orthocentre du triangle ABC a pour coordonnées $H\left(-8;4\right)$.

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3. 1. Calculer les coordonnées du point G tel que $3\overrightarrow{\mathrm{\Omega }G}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }H}$.

      Soit $G\left(x;y\right)$, les coordonnés des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }G}$ et $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }H}$ sont : $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }G}\left(\begin{array}{c}x-2\\ y+1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }H}\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\end{array}\right)$.

      Par conséquent, $$\begin{array}{lll}3\overrightarrow{\mathrm{\Omega }G}=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }H}& \iff & \{\begin{array}{l}3\times \left(x-2\right)=-10\\ 3\times \left(y+1\right)=5\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}3x=-4\\ 3y=2\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\\ y={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\end{array}$$

      Les coordonnées du point G sont $G\left(-{\displaystyle \frac{4}{3}};{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)$.

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   2. Soit I le milieu du segment [AB]. Le point G appartient-il à la médiane (CI) ?

      Les coordonnées $\left(x_I;y_I\right)$ du point I milieu du segment [AB] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_I={\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}& \text{Soit}& x_I={\displaystyle \frac{-5+3}{2}}=-1\\ y_I={\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}& \text{Soit}& y_I={\displaystyle \frac{3+7}{2}}=5\end{array}$$

      Ainsi, le point I a pour coordonnées $I\left(-1;5\right)$. Nous pouvons déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{CI}\left(\begin{array}{c}1\\ 13\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{CG}\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{26}{3}}\end{array}\right)$.

      $\overrightarrow{CG}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{CI}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{CG}$ et $\overrightarrow{CI}$ sont colinéaires : les points C, G et I sont alignés.

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