contrôle du 29 janvier 2015

Corrigé de l'exercice 2

1. Dans quel intervalle varie x ?

   M est un point du segment [AB] donc $x\in \left[0;8\right]$.

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2. 1. Montrer que $f\left(x\right)=-2x^2+23x$

      $f\left(x\right)$ est égal à la somme des aires du rectangle MNJB et du rectangle PDIN d'où : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)& =& x\times \left(8-x\right)+x\times \left(15-x\right)\hfill \\ & =& 8x-x^2+15x-x^2\hfill \\ & =& -2x^2+23x\hfill \end{array}$$

      f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $f\left(x\right)=-2x^2+23x$.

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   2. Donner le tableau de variation de la fonction f.

      f est la restriction sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ d'une fonction polynôme du second degré avec $a=-2$, $b=23$ et $c=0$.

      Comme $a<0$, la fonction f admet un maximum. Le maximum est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $x={\displaystyle \frac{23}{4}}$

      Le tableau des variations de la fonction f est :

      x	0		${\displaystyle \frac{23}{4}}$		8
      $f\left(x\right)$	0		${\displaystyle \frac{529}{8}}$		56

   3. En déduire la valeur maximale de l'aire de la partie hachurée.

      Comme ${\displaystyle \frac{23}{4}}$ appartient à $\left[0;8\right]$, l'aire maximale de la partie hachurée est égale à $$f\left({\displaystyle \frac{23}{4}}\right)=-2\times {\left({\displaystyle \frac{23}{4}}\right)}^2+23\times {\displaystyle \frac{23}{4}}={\displaystyle \frac{529}{8}}=\mathrm{66,125}$$

      L'aire maximale de la partie hachurée est égale à 66,125.

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3. 1. Déterminer $g\left(x\right)$ en fonction de x.

      $g\left(x\right)$ est égal à la différence de l'aire du rectangle ABCD et de l'aire de la partie hachurée : $$\begin{array}{ccc}g\left(x\right)& =& 8\times 15-f\left(x\right)\hfill \\ & =& 120-\left(-2x^2+23x\right)\hfill \\ & =& 2x^2-23x+120\hfill \end{array}$$

      g est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $g\left(x\right)=2x^2-23x+120$.

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   2. Donner le tableau de variation de la fonction g.

      g est la restriction sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ d'une fonction polynôme du second degré avec $a=2$, $b=-23$ et $c=120$.

      Comme $a>0$, la fonction g admet un minimum. Le minimum est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $x={\displaystyle \frac{23}{4}}$

      Le tableau des variations de la fonction g est :

      x	0		${\displaystyle \frac{23}{4}}$		8
      $g\left(x\right)$	120		${\displaystyle \frac{431}{8}}$		64

4. 1. Montrer que pour tout réel x, $-2x^2+23x-30=-2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{23}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{289}{16}}\right]$

      méthode 1	méthode 2
      Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}-2x^2+23x-30& =& -2\times \left[x^2-{\displaystyle \frac{23}{2}}x+15\right]\\ & =& -2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{23}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{529}{16}}+15\right]\\ & =& -2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{23}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{289}{16}}\right]\end{array}$$	Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}-2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{23}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{289}{16}}\right]& =& -2\times \left[x^2-{\displaystyle \frac{23}{2}}x+{\displaystyle \frac{529}{16}}-{\displaystyle \frac{289}{16}}\right]\\ & =& -2\times \left[x^2-{\displaystyle \frac{23}{2}}x+15\right]\\ & =& -2x^2+23x-30\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $-2x^2+23x-30=-2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{23}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{289}{16}}\right]$.

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   2. Pour quelles valeurs du réel x l'aire de la partie hachurée est-elle égale au quart de l'aire du rectangle ?

      L'aire de la partie hachurée est-elle égale au quart de l'aire du rectangle pour les réels x de l'intervalle $\left[0;8\right]$ solutions de l'équation : $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)={\displaystyle \frac{120}{4}}& \iff & -2x^2+23x=30\\ & \iff & -2x^2+23x-30=0\\ & \iff & -2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{23}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{289}{16}}\right]=0\\ & \iff & -2\times \left(x-{\displaystyle \frac{23}{4}}-{\displaystyle \frac{17}{4}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{23}{4}}+{\displaystyle \frac{17}{4}}\right)=0\\ & \iff & -2\times \left(x-10\right)\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0\end{array}$$

      L'équation $-2\times \left(x-10\right)\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0$ admet deux solutions $x=10$ ou $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Comme ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ est la seule valeur appartenant à l'intervalle $\left[0;8\right]$ :

      L'aire de la partie hachurée est égale au quart de l'aire du rectangle pour $x=\mathrm{1,5}$.

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