contrôle du 09 avril mars 2015

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel $x\ne -2$ par $f\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{6}{x+2}}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.

1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

   • $f\left(0\right)=1-{\displaystyle \frac{6}{2}}=-2$.

     La courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;-2\right)$.

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   • $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)=0& \iff & 1-{\displaystyle \frac{6}{x+2}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x+2-6}{x+2}}=0\\ & \iff & x-4=0\text{ et }x\ne -2\\ & \iff & x=4\end{array}$$

     La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(4;0\right)$

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2. 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

      • méthode 1 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ tels que $-2<a<b$ : $$\begin{array}{llll}-2<a<b& \iff & 0<a+2<b+2& \\ & \iff & 0<{\displaystyle \frac{1}{b+2}}<{\displaystyle \frac{1}{a+2}}& \text{la fonction inverse est strictement décroissante sur }\left]0;+\infty \right[\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{6}{a+2}}<-{\displaystyle \frac{6}{b+2}}<0& \\ & \iff & 1-{\displaystyle \frac{6}{a+2}}<1-{\displaystyle \frac{6}{b+2}}<1& \end{array}$$

        Ainsi, si $-2<a<b$ alors $f\left(a\right)<f\left(b\right)$ donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

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      • méthode 2 :

        Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ tels que $-2<a<b$ : $$\begin{array}{lll}f\left(a\right)-f\left(b\right)& =& -{\displaystyle \frac{6}{a+2}}+{\displaystyle \frac{6}{b+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-6\times \left(b+2\right)+6\times \left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\times \left(b+2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{6a-6b}{\left(a+2\right)\times \left(b+2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{6\times \left(a-b\right)}{\left(a+2\right)\times \left(b+2\right)}}\end{array}$$

        Si $-2<a<b$ alors, $a+2>0$, $b+2>0$ et $a-b<0$ donc $f\left(a\right)-f\left(b\right)<0$

        Ainsi, si $-2<a<b$ alors $f\left(a\right)<f\left(b\right)$ donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

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   2. On admet que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right[$. Donner le tableau de variations de la fonction f.

      Tableau des variations de la fonction f :

      x	$-\infty$		− 2				$+\infty$
      $f\left(x\right)$

3. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-1\right)=-3$ et $g\left(3\right)=1$. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(3\right)-g\left(-1\right)}{3-\left(-1\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{1+3}{4}}=1\end{array}$$

   Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=x+b$. Or $g\left(3\right)=1$ d'où $$3+b=1\iff b=-2$$

   g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=x-2$.

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4. 1. Montrer pour tout réel $x\ne -2$$f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-x^2}{x+2}}$.

      Pour tout réel $x\ne -2$ : $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& 1-{\displaystyle \frac{6}{x+2}}-x+2\\ & =& 3-x-{\displaystyle \frac{6}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3\times \left(x+2\right)-x\times \left(x+2\right)-6}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3x+6-x^2-2x-6}{x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x-x^2}{x+2}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel $x\ne -2$$f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-x^2}{x+2}}$.

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   2. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

      Pour tout réel $x\ne -2$$$f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-x^2}{x+2}}={\displaystyle \frac{x\left(1-x\right)}{x+2}}$$

      Étudions le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau :

      x	$-\infty$		− 2		0		1		$+\infty$
      Signe de x		−		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $\left(1-x\right)$		+		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Signe de $\left(x+2\right)$		−		+	$|$	+	$|$	+
      Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      L'ensemble S des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ est $S=\left]-2;0\right]\cup \left[1;+\infty \right[$.

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