contrôle du 09 avril mars 2015

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+5}{x-1}}$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Les droites $d_1$ et $d_2$ sont les parallèles aux axes du repère passant par le point I de coordonnées $\left(1;2\right)$.
Pour tout réel x de l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, on note M le point de la courbe $C_f$ d'abscisse x et on construit le rectangle INMP comme indiqué ci-dessous.

1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, $f\left(x\right)>2$.

   Pour tout réel $x>1$, $$f\left(x\right)-2={\displaystyle \frac{2x+5}{x-1}}-2={\displaystyle \frac{7}{x-1}}$$

   Or pour tout réel $x>1$, ${\displaystyle \frac{7}{x-1}}>0$ soit $f\left(x\right)-2>0$.

   Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, $f\left(x\right)>2$.

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2. 1. Exprimer en fonction de x, les distances IN et MN.

      • Les coordonnées du point N sont $\left(x;2\right)$ par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{IN}$ a pour coordonnées $\left(x-1;0\right)$ et comme $x>1$ alors $IN=x-1$.

      • M est un point de la courbe $C_f$ donc les coordonnées du point M sont $\left(x;f\left(x\right)\right)$ par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{MN}$ a pour coordonnées $\left(0;2-f\left(x\right)\right)$.
        Comme $f\left(x\right)>2$ alors $MN=f\left(x\right)-2$ soit $MN={\displaystyle \frac{7}{x-1}}$.

      $IN=x-1$ et $MN={\displaystyle \frac{7}{x-1}}$.

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   2. Montrer que pour tout point M de la courbe $C_f$, l'aire du rectangle INMP est constante.

      L'aire A du rectangle INMP est : $$A=IN\times MN=\left(x-1\right)\times {\displaystyle \frac{7}{x-1}}=7$$

      Pour tout point M de la courbe $C_f$, l'aire du rectangle INMP est égale à 7.

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3. On veut déterminer les coordonnées du point M de la courbe $C_f$ pour le quadrilatère INMP soit un carré.

   1. Montrer que l'abscisse du point M est solution de l'équation ${\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2-7}{x-1}}=0$.

      Pour que le rectangle INMP soit un carré il suffit que $IN=MN$. Soit pour tout réel $x>1$, $$\begin{array}{ccccc}x-1={\displaystyle \frac{7}{x-1}}& \iff & x-1-{\displaystyle \frac{7}{x-1}}=0& \iff & {\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2-7}{x-1}}=0\end{array}$$

      L'abscisse du point M est solution de l'équation ${\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2-7}{x-1}}=0$ sur l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$.

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   2. Calculer les coordonnées du point M.

      Pour tout réel $x\ne 1$ : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2-7}{x-1}}=0& \iff & {\displaystyle \frac{\left(x-1-\sqrt{7}\right)\left(x-1+\sqrt{7}\right)}{x-1}}=0\\ & \iff & x=1+\sqrt{7}\text{ ou }x=1-\sqrt{7}\end{array}$$

      Comme $1+\sqrt{7}$ est la seule solution qui appartient à l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$, l'abscisse du point M de la courbe $C_f$ tel que $IN=MN$ est égale à $1+\sqrt{7}$. D'autre part :$$f\left(1+\sqrt{7}\right)={\displaystyle \frac{2\times \left(1+\sqrt{7}\right)+5}{\left(1+\sqrt{7}\right)-1}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{7}+7}{\sqrt{7}}}=2+\sqrt{7}$$

      Le point M de la courbe $C_f$ pour le quadrilatère INMP soit un carré a pour coordonnées $M\left(1+\sqrt{7};2+\sqrt{7}\right)$.

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