contrôles en seconde

contrôle du 16 avril 2015

Corrigé de l'exercice 3

Soit $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ un repère orthonormé du plan.

On considère la droite D passant par le point $E (4; - 2)$ et admettant pour coefficient directeur $(- 2)$ .
1. Déterminer une équation de la droite D.
  Une équation de la droite D admettant pour coefficient directeur $(- 2)$ et passant par le point $E (4; - 2)$ est : $\begin{matrix} y = - 2 \times (x - 4) - 2 & \Leftrightarrow & y = - 2 x + 6 \end{matrix}$
  La droite D a pour équation $y = - 2 x + 6$
2. Le point $F (2; - 1)$ est-il un point de la droite D ?
  $- 2 \times 2 + 6 = 2$
  Les coordonnées $(2; - 1)$ du point F ne vérifient pas l'équation de la droite D donc le point $F (2; - 1)$ n'appartient pas à la droite D.
On considère les points $A (- 4; 9)$ et $B (2; 12)$ .
1. Déterminer une équation de la droite (AB).
  - méthode 1
    La droite (AB) est l'ensemble des points $M (x; y)$ tels que les vecteurs $\vec{A M} (\begin{matrix} x + 4 \\ y - 9 \end{matrix})$ et $\vec{A B} (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix})$ sont colinéaires. Soit $\begin{array}{rcl} 3 \times (x + 4) - 6 \times (y - 9) = 0 & \Leftrightarrow & 3 x + 12 - 6 y + 54 = 0 \\ \Leftrightarrow & 6 y = 3 x + 66 \\ \Leftrightarrow & y = \frac{1}{2} x + 11 \end{array}$
    La droite (AB) a pour équation $y = \frac{1}{2} x + 11$ .
  - méthode 2
    Les points A et B n'ont pas la même abscisse donc la droite (AB) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur m de la droite (AB) est : $\begin{matrix} m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} & Soit & m = \frac{12 - 9}{2 + 4} = \frac{1}{2} \end{matrix}$
    $B (2; 12)$ est un point de la droite (AB) par conséquent, la droite (AB) a pour équation : $\begin{matrix} y = \frac{1}{2} \times (x - 2) + 12 & \Leftrightarrow & y = \frac{1}{2} x + 11 \end{matrix}$
    La droite (AB) a pour équation $y = \frac{1}{2} x + 11$ .
2. Les droites (AB) et D sont elles parallèles ?
  Les coefficients directeurs des droites (AB) et D ne sont pas égaux donc ces deux droites sont sécantes.
Résoudre le système $S : {\begin{matrix} y = - 2 x + 6 \\ y = 0,5 x + 11 \end{matrix}$ . Interpréter graphiquement le résultat.
$\begin{array}{l} {\begin{matrix} y = - 2 x + 6 \\ y = 0,5 x + 11 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} y = - 2 x + 6 \\ - 2 x + 6 = 0,5 x + 11 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} y = - 2 x + 6 \\ - 2,5 x = 5 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} y = 10 \\ x = - 2 \end{cases} \end{array}$
Les droites (AB) et D sont sécantes en un point de coordonnées $(- 2; 10)$ .
On admettra maintenant que les droites (AB) et D sont sécantes en $H (- 2; 10)$ . Démontrer que le triangle BHE est rectangle en H.
Le plan étant muni d'un repère orthonormé, calculons les longueurs des trois côté du triangle BHE : $\begin{array}{l} H E = \sqrt{{(x_{E} - x_{H})}^{2} + {(y_{E} - y_{H})}^{2}} & Soit & H E = \sqrt{{(4 + 2)}^{2} + {(- 2 - 10)}^{2}} = \sqrt{180} = 6 \sqrt{5} \\ H B = \sqrt{{(x_{B} - x_{H})}^{2} + {(y_{B} - y_{H})}^{2}} & Soit & H B = \sqrt{{(2 + 2)}^{2} + {(12 - 10)}^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \\ et & B E = \sqrt{{(x_{E} - x_{B})}^{2} + {(y_{E} - y_{B})}^{2}} & Soit & B E = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(- 2 - 12)}^{2}} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \end{array}$
Ainsi, ${B E}^{2} = {H E}^{2} + {H B}^{2}$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BHE est rectangle en H.

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