contrôle du 16 avril 2015

Corrigé de l'exercice 4

Partie a

1. Exprimer en fonction de x l'aire du triangle PRD.

   $PD=DR=12-x$.

   L'aire en cm² du triangle rectangle isocèle PRD est ${\displaystyle \frac{{\left(12-x\right)}^2}{2}}$

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2. On note $f\left(x\right)$ l'aire en cm² de la partie hachurée.

   1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;12\right]$, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-12x+72$.

      L'aire de la partie hachurée est égale à la somme des aires du carré AMNP et du triangle PRD. D'où pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;12\right]$, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)& =& x^2+{\displaystyle \frac{{\left(12-x\right)}^2}{2}}\\ & =& x^2+{\displaystyle \frac{144-24x+x^2}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-12x+72\end{array}$$

      f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-12x+72$.

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   2. Donner, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f. En déduire la valeur minimale de l'aire de la partie hachurée.

      La fonction f est la restriction sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ d'une fonction polynôme du second degré avec $a={\displaystyle \frac{3}{2}}$, $b=-12$ et $c=72$.

      Comme $a>0$, la fonction polynôme admet un minimum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $x={\displaystyle \frac{12}{3}}=4$

      Le tableau des variations de la fonction f est :

      x	0		4		12
      $f\left(x\right)$	72		48		144

      Le minimum de la fonction f est atteint pour $x=4$ et $f\left(4\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\times 16-12\times 4+72=48$

      L'aire minimale de la partie hachurée est égale à 48 cm².

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3. Déterminer les positions éventuelles du point M pour que l'aire de la partie hachurée soit égale à la moitié de l'aire du carré ABCD.

   L'aire, en cm², du carré ABCD est égale à ${12}^2=144$. On cherche les solutions éventuelles de l'équation $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{144}{2}}$, soit les réels x de l'intervalle $\left[0;12\right]$ tels que $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-12x+72=72& \iff & {\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-12x=0\\ & \iff & x\left({\displaystyle \frac{3}{2}}x-12\right)=0\\ & \iff & x=0\text{ ou }{\displaystyle \frac{3}{2}}x-12=0\\ & \iff & x=0\text{ ou }x=8\end{array}$$

   L'aire de la partie hachurée est égale à la moitié de l'aire du carré ABCD quand les points M et A sont confondus ou quand $AM=8$.

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Partie b

1. On note $g\left(x\right)$ l'aire en cm² du trapèze DMBC. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;12\right]$, $g\left(x\right)=144-6x$.

   Au choix :

   • L'aire du trapèze DMBC est égale à : ${\displaystyle \frac{\left(DC+MB\right)\times BC}{2}}$. Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;12\right]$ on a : $$g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(12+\left(12-x\right)\right)\times 12}{2}}=144-6x$$

   • L'aire du trapèze DMBC est égale à la différence entre l'aire du carré ABCD et l'aire du triangle ADM soit : ${AB}^2-{\displaystyle \frac{AM\times AD}{2}}$. Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;12\right]$ on a : $$g\left(x\right)=144-\left({\displaystyle \frac{12x}{2}}\right)=144-6x$$

   Ainsi, g est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $g\left(x\right)=144-6x$.

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2. On donne en annexe la représentation graphique de la fonction f définie dans la partie A.

   1. Tracer sur la figure donnée la représentation graphique de la fonction g.

      La droite d'équation $y=144-6x$ passe par les points de coordonnées $\left(4;120\right)$ et $\left(9;90\right)$

   2. Démontrer que, pour tout $x\in \left[0;12\right]$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left[{\left(x-2\right)}^2-52\right]$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;12\right]$ : $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-12x+72-\left(144-6x\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-6x-72\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left[x^2-4x-48\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left[{\left(x-2\right)}^2-4-48\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left[{\left(x-2\right)}^2-52\right]\end{array}$$

      Ainsi, pour tout $x\in \left[0;12\right]$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left[{\left(x-2\right)}^2-52\right]$.

      ---

   3. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;12\right]$, $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)\iff f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0$. Or $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left[{\left(x-2\right)}^2-52\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left(x-2-\sqrt{52}\right)\left(x-2+\sqrt{52}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left(x-\left(2+2\sqrt{13}\right)\right)\left(x-\left(2-2\sqrt{13}\right)\right)\end{array}$$

      Étudions le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;12\right]$, à l'aide d'un tableau de signes :

      x	0		$2+2\sqrt{13}$		12
      $x-\left(2+2\sqrt{13}\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $x-\left(2-2\sqrt{13}\right)$		+	$|$	+
      ${\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left(x-\left(2+2\sqrt{13}\right)\right)\left(x-\left(2-2\sqrt{13}\right)\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      ---

      L'ensemble S des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ est l'intervalle $S=\left[0;2+2\sqrt{13}\right]$.

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