contrôles en seconde

contrôle commun 24 mars 2016

Corrigé de l'exercice 4

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , on considère la droite $𝒟$ d'équation $y = - \frac{x}{3} + 4$ .

Calculer les coordonnées des points d'intersection de la droite $𝒟$ avec les axes du repère.
- La droite $𝒟$ a pour équation $y = - \frac{x}{3} + 4$ donc la droite $𝒟$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 4)$ .
- L'abscisse du point d'intersection de la droite $𝒟$ avec l'axe des abscisses est solution de l'équation : $\begin{matrix} - \frac{x}{3} + 4 = 0 & \Leftrightarrow & x = 12 \end{matrix}$
  La droite $𝒟$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(12; 0)$ .

Soit $M (x; y)$ un point de la droite $𝒟$ tel que $x \in [0; 12]$ . On construit le rectangle OAMB avec $A (x; 0)$ et $B (0; - \frac{x}{3} + 4)$ .

Calculer les coordonnées du point M pour que le quadrilatère OAMB soit un carré. Vérifier que l'aire de OAMB est alors égale à 9.
Dans le repère orthnormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , dire que OAMB est un carré équivaut à $O A = O B$ . M est le point d'intersection de la droite $𝒟$ avec la droite d'équation $y = x$ . Les coordonnées du point M sont solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{cases} y = x \\ y = - \frac{x}{3} + 4 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} y = x \\ x = - \frac{x}{3} + 4 \end{cases} \\ \Leftrightarrow & {\begin{cases} y = x \\ - \frac{4}{3} x = 4 \end{cases} \\ \Leftrightarrow & {\begin{cases} y = 3 \\ x = 3 \end{cases} \end{array}$
Les coordonnées du point M pour que le quadrilatère OAMB soit un carré sont $M (3; 3)$ . L'aire du carré est égale à $3^{2} = 9$ .
On note $f (x)$ l'aire du rectangle OAMB.
1. Justifier que la fonction f est définie sur l'intervalle $[0; 12]$ par $f (x) = - \frac{x^{2}}{3} + 4 x$ .
  L'aire du rectangle OAMB est égale à $O A \times O B$ soit pour tout réel x de l'intervalle $[0; 12]$ : $f (x) = x \times (- \frac{x}{3} + 4) = - \frac{x^{2}}{3} + 4 x$
  Ainsi, la fonction f est définie sur l'intervalle $[0; 12]$ par $f (x) = - \frac{x^{2}}{3} + 4 x$ .
2. Donner le tableau de variation de la fonction f. Justifier.
  f est la restriction d'une fonction polynôme du second degré avec $a = - \frac{1}{3}$ , $b = 4$ et $c = 0$ .
  Comme $a < 0$ , la fonction f admet un maximum atteint pour $x = - \frac{b}{2 a}$ soit $x = - 4 \times (- \frac{3}{2}) = 6$
  Nos avons : $f (0) = 0$ ; $f (6) = - \frac{36}{3} + 24 = 12$ et $f (12) = - \frac{144}{3} + 48 = 0$
  Le tableau des variations de la fonction f est :
  x 0 6 12
  $f (x)$
  0
  12
  0
3. En déduire la valeur maximale de l'aire du rectangle OAMB.
  D'après le tableau de variation de la fonction f :
  L'aire maximale du rectangle OAMB est 12.
La courbe $C_{f}$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.
1. Par lecture graphique, déterminer l'ensemble des abscisses des points M pour que l'aire du rectangle OAMB soit supérieure ou égale à 9.
  La courbe $C_{f}$ est au dessus de la droite d'équation $y = 9$ sur l'intervalle $[3; 9]$ .
  L'aire du rectangle OAMB est supérieure ou égale à 9 pour tout point M d'abscisse $x \in [3; 9]$ .
2. Justifier que pour tout réel x de l'intervalle $[0; 12]$ , $f (x) - 9 = - \frac{1}{3} \times [{(x - 6)}^{2} - 9]$ .
  Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 12]$ : $\begin{array}{rcl} f (x) - 9 & = & - \frac{x^{2}}{3} + 4 x - 9 \\ = & - \frac{1}{3} \times (x^{2} - 12 x + 27) \\ = & - \frac{1}{3} \times [{(x - 6)}^{2} - 36 + 27] \\ \Leftrightarrow & - \frac{1}{3} \times [{(x - 6)}^{2} - 9] \end{array}$
  Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $[0; 12]$ , $f (x) - 9 = - \frac{1}{3} \times [{(x - 6)}^{2} - 9]$ .
3. Résoudre dans l'intervalle $[0; 12]$ l'inéquation $f (x) - 9 ⩾ 0$ .
  Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 12]$ : $\begin{array}{rcl} f (x) - 9 ⩾ 0 & \Leftrightarrow & - \frac{1}{3} \times [{(x - 6)}^{2} - 9] ⩾ 0 \\ \Leftrightarrow & {(x - 6)}^{2} - 9 ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & (x - 6 + 3) (x - 6 - 3) ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & (x - 3) (x - 9) ⩽ 0 \end{array}$
  Étudions le signe du produit $(x - 3) (x - 9)$ sur l'intervalle $[0; 12]$ à l'aide d'un tableau :
  x
  0 3 9 12
  $x - 3$ − $0_{|}^{|}$ + $|$ +
  $x - 9$ − $|$ − $0_{|}^{|}$ +
  $(x - 3) (x - 9)$ + $0_{|}^{|}$ − $0_{|}^{|}$ +
  L'ensemble des solutions de l'inéquation $f (x) - 9 ⩾ 0$ est l'intervalle $S = [3; 9]$ .

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x	0		3		9		12
$x - 3$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$\|$	+
$x - 9$		−	$\|$	−	$0_{\|}^{\|}$	+
$(x - 3) (x - 9)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−	$0_{\|}^{\|}$	+

x	0		6		12
$f (x)$	0		12		0