contrôle du 19 février 2016

exercice 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on a tracé la droite $d_1$ d'équation $y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{13}{2}}$.

1. 1. Placer les points $A\left(-4;7\right)$, $B\left(-7;-4\right)$ et $C\left(8;-1\right)$.

   2. Le point $B\left(-7;-4\right)$ appartient-il à la droite $d_1$ ?

2. 1. Tracer la droite $d_2$ passant par le point $A\left(-4;7\right)$ et ayant pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{r}1\\ -5\end{array}\right)$.

   2. Déterminer une équation de la droite $d_2$.

   3. Résoudre le système $S:\{\begin{array}{l}y=-5x-13\\ y={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{13}{2}}\end{array}$. Interpréter graphiquement le résultat.

3. Soit J le milieu du segment [AC]. Déterminer une équation de la médiane (BJ) du triangle ABC.

4. Soit H le point de coordonnées $\left(-3;2\right)$.

   1. Calculer les coordonnées du point G tel que $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OH}$.

   2. Soit I le milieu du segment [BC]. Montrer que les points A, G et I sont alignés.

   3. Justifier que le point G est le centre de gravité du triangle ABC.

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exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=3x^2+8x-16$.

1. Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction f suivant :

   x	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3
   $f\left(x\right)$

2. Tracer la courbe $C_f$ représentative de la fonction f dans le repère ci-dessous. (Les quatre points appartiennent à la courbe $C_f$)

3. 1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   2. Quelles sont les coordonnées du sommet S de la parabole $C_f$ ?

   3. Quelles sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ ?

4. 1. Vérifier que pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$.

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

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exercice 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on considère la droite $𝒟$ d'équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+2$ et le point A de coordonnées $\left(-2;-4\right)$.
Le but de cet exercice est de déterminer la distance du point A à la droite $𝒟$.

1. Soit M un point de la droite $𝒟$ d'abscisse a.

   1. Exprimer en fonction de a les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$.

   2. Montrer que ${AM}^2={\displaystyle \frac{25}{16}}{a}^2-5a+40$.

2. Soit f la fonction définie pour tout réel a par $f\left(a\right)={\displaystyle \frac{25}{16}}{a}^2-5a+40$.

   1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   2. En déduire la distance du point A à la droite $𝒟$.

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