contrôle du 5 décembre 2015

sujet a

exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2x^2-x-12$.
Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. 1. Le point $A\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}};3\right)$ appartient-il à la courbe $C_f$ ?

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=-12$.

2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-3\right)=-9$ et $g\left(4\right)=5$.

   1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère précédent.

3. 1. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(x-3\right)$.

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

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exercice 2

ABC est un triangle.

1. Sur le dessin ci-dessus, placer les points M et N tels que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$.

2. I est le point tel que $2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$. Montrer que I est le milieu du segment [AC].

3. Les points M, I et N sont-ils alignés ?

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exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

1. Placer les points $A\left(-5;1\right)$, $B\left(3;-3\right)$, $C\left(5;1\right)$ et $E\left(2;0\right)$.

2. 1. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AB].

   2. Les points E, C et M sont-ils alignés ?

3. 1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

   2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

4. 1. Calculer les distances AC et BD.

   2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

5. Placer le point N de coordonnées $\left(1;3\right)$. Les droites (AN) et (EC) sont-elles parallèles ?

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sujet b

exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2x^2+x-4$.
Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. 1. Le point $A\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}};6\right)$ appartient-il à la courbe $C_f$ ?

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=-4$.

2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=9$ et $g\left(4\right)=-3$.

   1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère précédent.

3. 1. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(2x-3\right)$.

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

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exercice 2

ABC est un triangle.

1. Sur le dessin ci-dessus, placer les points M et N tels que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$.

2. I est le point tel que $2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$. Montrer que I est le milieu du segment [AC].

3. Les points M, I et N sont-ils alignés ?

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exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

1. Placer les points $A\left(4;5\right)$, $B\left(6;-1\right)$, $C\left(-3;-4\right)$ et $E\left(1;-1\right)$.

2. 1. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AB].

   2. Les points E, C et M sont-ils alignés ?

3. 1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

   2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

4. 1. Calculer les distances AC et BD.

   2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

5. Placer le point N de coordonnées $\left(0;2\right)$. Les droites (AN) et (EC) sont-elles parallèles ?

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