contrôle du 30 septembre 2015

exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ chacune des inéquations suivantes et écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des solutions de l'inéquation.

1. $3-2x⩽{\displaystyle \frac{2}{3}}$

2. $2x+{\displaystyle \frac{3}{4}}>5x$

3. $1+{\displaystyle \frac{2}{3}}x⩾x+2$

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exercice 2

Soit f la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

1. Lire graphiquement l'image de 3 par la fonction f.

2. Résoudre graphiquement l'équation $f\left(x\right)=1$.

3. Résoudre graphiquement l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

4. Donner le tableau de variation de la fonction f.

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exercice 3

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-7;8\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\left(x-3\right)}^2\times \left(2x+9\right)}{25}}$.

1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

2. Recopier et compléter le tableau de variation de la fonction f :

   x	− 7	…	− 2		3		8
   $f\left(x\right)$	− 20		…		…		25

3. Calculer $f\left({\displaystyle \frac{11}{2}}\right)$. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽5$.

4. Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left[-2;3\right]$ tels que $a<b$ comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$

5. La proposition « Si $-2⩽f\left(x\right)⩽3$ alors $x\in \left[0;5\right]$. » est-elle vraie ou fausse ?

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exercice 4

ABC est un triangle rectangle A tel que $AB=8$ et $AC=6$.
M étant un point du segment [AB], on construit le rectangle AMNP comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On pose On pose $AM=x$ et on note $f\left(x\right)$ l'aire du rectangle AMNP.

1. Donner l'ensemble de définition de la fonction f.

2. 1. Exprimer en fonction de x la distance MN.

   2. En déduire que $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+6x$.

3. 1. Calculer l'image de 4 par la fonction f et vérifier que $f\left(x\right)-f\left(4\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\left(x-4\right)}^2$.

   2. En déduire l'existence d'un extremum pour la fonction f.

4. La courbe représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.
   À l'aide du graphique, résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩾9$.

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