contrôles en seconde

contrôle du 30 janvier 2016

Équations de droites
Fonctions polynômes du second degré.

sujet a

exercice 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , on a tracé cinq droites.

Parmi les quatre équations suivantes quelle est l'équation de la droite $D_{1}$ ?
a. $y = x - 2$
b. $y = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x$
c. $y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$
d. $y = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} x$
À l'aide du graphique, déterminer une équation réduite chacune des quatre droites $D_{2}$ , $D_{3}$ , $D_{4}$ et $D_{5}$ .

exercice 2

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite $𝒟$ .

La droite $𝒟$ passe par les points $A (- 2; 5)$ et $B (4; - 4)$ .
La droite $𝒟$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u} (\begin{array}{r} - 4 \\ 3 \end{array})$ et passe par le point $C (3; - 5)$ .
La droite $𝒟$ est parallèle à la droite d d'équation $y = 2 x - \frac{1}{2}$ et passe par le point $E (- 1; 2)$ .

exercice 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , on considère les points $A (- 1; 5)$ , $B (- 3; 0)$ et $C (7; - 2)$ .

1. Soit I le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées du point I.
2. En déduire une équation de la médiane (AI) du triangle ABC.
Soit G le point de coordonnées $(1; 1)$ .
1. Le point G appartient-il à la droite (AI) ?
2. Déterminer une équation de la droite (BG).
3. Soit J le milieu du segment [AC]. Montrer que J est un point de la droite (BG).
4. Que représente le point G pour le triangle ABC ?

exercice 4

ABCD est un rectangle tel que $A B = 10$ et $A D = 6$ .
M étant un point du segment [AD], on construit le quadrilatère MNPQ comme indiqué sur la figure ci-dessous, avec $A M = A N = C P = C Q$ .

On pose $A M = x$ avec $x \in [0; 6]$ .

Exprimer en fonction de x l'aire du triangle MAN ainsi que l'aire du triangle NBP.
On note $f (x)$ l'aire du quadrilatère MNPQ.
1. Exprimer en fonction de x l'aire du quadrilatère MNPQ.
2. Donner le tableau de variation de la fonction f.
3. En déduire la valeur maximale de l'aire du quadrilatère MNPQ.
La courbe $C_{f}$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.
1. Par lecture graphique, déterminer les positions éventuelles du point M sur le segment [AD] pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit supérieure à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.
2. Justifier que pour tout réel x de l'intervalle $[0; 6]$ , $f (x) = 30 \Leftrightarrow - 2 \times [{(x - 4)}^{2} - 1] = 0$ .
3. En déduire les positions éventuelles du point M sur le segment [AD] pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.

sujet b

exercice 1

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , on a tracé cinq droites.

Parmi les quatre équations suivantes quelle est l'équation de la droite $D_{1}$ ?
a. $y = 2 - x$
b. $y = \frac{2}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x$
c. $y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$
d. $y = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} x$
À l'aide du graphique, déterminer une équation réduite chacune des quatre droites $D_{2}$ , $D_{3}$ , $D_{4}$ et $D_{5}$ .

exercice 2

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite $𝒟$ .

La droite $𝒟$ passe par les points $A (- 3; 3)$ et $B (3; - 3)$ .
La droite $𝒟$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u} (\begin{array}{r} - 2 \\ 3 \end{array})$ et passe par le point $C (2; - 1)$ .
La droite $𝒟$ est parallèle à la droite d d'équation $y = - 2 x + \frac{1}{2}$ et passe par le point $E (1; - 2)$ .

exercice 3

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , on considère les points $A (- 1; 5)$ , $B (7; - 2)$ et $C (- 3; 0)$ .

1. Soit I le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées du point I.
2. En déduire une équation de la médiane (AI) du triangle ABC.
Soit G le point de coordonnées $(1; 1)$ .
1. Le point G appartient-il à la droite (AI) ?
2. Déterminer une équation de la droite (BG).
3. Soit J le milieu du segment [AC]. Montrer que J est un point de la droite (BG).
4. Que représente le point G pour le triangle ABC ?

exercice 4

ABCD est un rectangle tel que $A B = 12$ et $A D = 8$ .
M étant un point du segment [AD], on construit le quadrilatère MNPQ comme indiqué sur la figure ci-dessous, avec $A M = A N = C P = C Q$ .

On pose $A M = x$ avec $x \in [0; 8]$ .

Exprimer en fonction de x l'aire du triangle MAN ainsi que l'aire du triangle NBP.
On note $f (x)$ l'aire du quadrilatère MNPQ.
1. Exprimer en fonction de x l'aire du quadrilatère MNPQ.
2. Donner le tableau de variation de la fonction f.
3. En déduire la valeur maximale de l'aire du quadrilatère MNPQ.
La courbe $C_{f}$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.
1. Par lecture graphique, déterminer les positions éventuelles du point M sur le segment [AD] pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit supérieure à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.
2. Justifier que pour tout réel x de l'intervalle $[0; 8]$ , $f (x) = 48 \Leftrightarrow - 2 \times [{(x - 5)}^{2} - 1] = 0$ .
3. En déduire les positions éventuelles du point M sur le segment [AD] pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.

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