contrôle du 9 janvier 2016

sujet a

exercice 1

Soit f une fonction polynôme du second degré dont le tableau de variations est le suivant :

x	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
$f\left(x\right)$			3

1. Parmi les fonctions polynômes du second degré ci-dessous, quelles sont celles qui ont le même tableau de variation que la fonction f ?

   $A\left(x\right)=-x^2-2x+2$ ;

   $B\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2+x+\mathrm{3,5}$ ;

   $C\left(x\right)=-x^2+2x+6$ ;

   $D\left(x\right)=-3x^2-6x$ ;

2. f est une fonction polynôme du second degré telle que $f\left(1\right)=0$.
   Donner le tableau du signe de la fonction f.

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exercice 2

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2-3x-1$.

1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

2. Calculer $f\left(-1\right)$. En déduire les solutions de l'équation $f\left(x\right)=3$.

3. Si m est un réel appartenant à l'intervalle $\left[0;4\right]$ peut-on affirmer que $-1⩽f\left(m\right)⩽3$ ?

partie b

La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-1\right)=5$ et $g\left(5\right)=-4$.

   1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère précédent.

2. 1. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{81}{16}}$.

   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $C_f$ et de la droite D.

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sujet b

exercice 1

Soit f une fonction polynôme du second degré dont le tableau de variations est le suivant :

x	$-\infty$		1		$+\infty$
$f\left(x\right)$			$-2$

1. Parmi les fonctions polynômes du second degré ci-dessous, quelles sont celles qui ont le même tableau de variation que la fonction f ?

   $A\left(x\right)=2x^2-4x$ ;

   $B\left(x\right)=-x^2+2x-3$ ;

   $C\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2+x-\mathrm{1,5}$ ;

   $D\left(x\right)=x^2-2x-1$ ;

2. f est une fonction polynôme du second degré telle que $f\left(-1\right)=0$.
   Donner le tableau du signe de la fonction f.

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exercice 2

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2-3x-1$.

1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

2. Calculer $f\left(3\right)$. En déduire les solutions de l'équation $f\left(x\right)=-1$.

3. Si m est un réel appartenant à l'intervalle $\left[-1;3\right]$ peut-on affirmer que $-1⩽f\left(m\right)⩽3$ ?

partie b

La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=6$ et $g\left(2\right)=4$.

   1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère précédent.

2. 1. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}$.

   2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $C_f$ et de la droite D.

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