contrôle du 12 avril 2016

exercice 1

Soit f la fonction inverse définie pour tout réel $x\ne 0$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

1. Déterminer un encadrement de $f\left(x\right)$ dans chacun des cas :

   1. $-\mathrm{1,25}⩽x⩽-\mathrm{0,25}$

   2. ${10}^{-2}⩽x⩽10$

   3. $x⩾5$

2. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

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exercice 2

L'offre et la demande désignent respectivement la quantité d'un bien ou d'un service que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné.

Une étude de marché a permis d'établir que les fonctions f et g représentées ci-dessous, modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit :

• $f\left(x\right)$ est la quantité, exprimée en milliers d'articles, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire de x euros ;
• $g\left(x\right)$ est la quantité, exprimée en milliers d'articles, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire de x euros

partie a : Lecture graphique

1. On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 2,50 €.
   Comparer l'offre et la demande pour ce prix de vente.

2. Déterminer le prix de vente à partir duquel le nombre d'articles offerts sur le marché par les producteurs sera supérieur à 75 000.
   Quel problème cela pose-t-il ?

3. On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte est égale à la quantité demandée.
   Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.

partie b : La fonction demande

La demande des consommateurs est modélisée par la fonction affine g définie sur l'intervalle $\left[1;p\right]$ telle que $g\left(5\right)=75$ et $g\left(10\right)=55$.

1. Déterminer l'expression de g en fonction de x.

2. Déterminer le prix de vente p d'un article pour lequel la demande est nulle.

partie c : La fonction d'offre

L'offre des producteurs est modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=100-{\displaystyle \frac{700}{2x+5}}$.

1. Soit a et b deux réels tels que $1<a<b$. Comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$.
   En déduire le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$.

2. Selon ce modèle, est-il possible que l'offre des producteurs soit de 100 milliers d'articles ?

partie c : Le prix d'équilibre

Le prix d'équilibre est le réel $x⩾1$ solution de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

1. Vérifier que $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(2x-15\right)\left(4x+45\right)}{2x+5}}$.

2. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
   En déduire le nombre d'articles échangés au prix d'équilibre.

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