contrôles en seconde

contrôle du 12 mars 2018

Corrigé de l'exercice

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , on considère les points $A (1; 5)$ , $B (- 2; 4)$ et $C (8; 1)$ ainsi que la droite Δ d'équation $y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$ .

partie a

1. Calculer les coordonnées du point I milieu du segment [AB].
  Les coordonnées $(x_{I}; y_{I})$ du point I milieu du segment [AB] sont : $\begin{matrix} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} & Soit & x_{I} = \frac{1 - 2}{2} = - \frac{1}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} & Soit & y_{I} = \frac{5 - 4}{2} = \frac{1}{2} \end{matrix}$
  Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .
2. Le point I appartient-il à la droite Δ ?
  $- \frac{1}{3} \times (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$
  Les coordonnées du point I vérifient l'équation de la droite Δ. Par conséquent, le point I appartient à la droite Δ.
Déterminer une équation de la droite 𝒟 passant par le point C et parallèle à la droite Δ. Tracer la droite 𝒟.
La droite 𝒟 est parallèle à la droite Δ d'équation $y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$ alors la droite 𝒟 a pour coefficient directeur $m = - \frac{1}{3}$
Le point $C (8; 1)$ appartient à la droite 𝒟, donc $\begin{matrix} - \frac{1}{3} \times 8 + p = 1 & \Leftrightarrow & p = \frac{11}{3} \end{matrix}$
La droite 𝒟 a pour équation $y = - \frac{x}{3} + \frac{11}{3}$ .
On admet que la droite Δ est la médiatrice du segment [AB]. Que représente la droite 𝒟 pour le triangle ABC ?
La médiatrice du segment [AB] est perpendiculaire à la droite (AB). Les deux droites 𝒟 et Δ sont parallèles et la médiatrice Δ est perpendiculaire à la droite (AB) donc la droite 𝒟 est perpendiculaire à la droite (AB).
𝒟 est la hauteur du triangle ABC issue de C.

partie b

Déterminer une équation de la droite (BC).
Les points B et C n'ont pas la même abscisse donc la droite (BC) admet une équation de la forme $y = m x + p$ avec $m = \frac{y_{C} - y_{B}}{x_{C} - x_{B}}$ . Soit $m = \frac{1 + 4}{8 + 2} = \frac{1}{2}$
Comme le point $C (8; 1)$ appartient à la droite (BC), on en déduit que $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 8 + p = 1 & \Leftrightarrow & p = - 3 \end{matrix}$
La droite (BC) a pour équation $y = \frac{x}{2} - 3$ .
1. Soit $M (x; \frac{x}{2} - 3)$ un point de la droite (BC). Montrer que ${A M}^{2} = \frac{5}{4} x^{2} - 10 x + 65$ .
  Le plan muni d'un repère orthonormé donc : $\begin{array}{rcl} {A M}^{2} = {(x_{M} - x_{A})}^{2} + {(y_{M} - y_{A})}^{2} & soit & {A M}^{2} = {(x - 1)}^{2} + {(\frac{x}{2} - 3 - 5)}^{2} \\ \Leftrightarrow & {A M}^{2} = x^{2} - 2 x + 1 + \frac{x^{2}}{4} - 8 x + 64 \\ \Leftrightarrow & {A M}^{2} = \frac{5}{4} x^{2} - 10 x + 65 \end{array}$
  Ainsi, ${A M}^{2} = \frac{5}{4} x^{2} - 10 x + 65$ .
2. Donner le tableau des variations de la fonction f définie pour tout réel x par $f (x) = \frac{5}{4} x^{2} - 10 x + 65$ .
  f est une fonction polynôme du second degré avec $a = \frac{5}{4}$ , $b = - 10$ et $c = 65$ . La fonction f admet un minimum atteint pour $\begin{array}{rcl} x = - \frac{b}{2 a} & soit & x = \frac{10}{2 \times \frac{5}{4}} = 4 \end{array}$ et, $f (4) = \frac{5}{4} \times 16 - 10 \times 4 + 65 = 45$
  D'où le tableau de variations de la fonction f :
  x $- \infty$ 4 $+ \infty$
  $f (x)$
  45
On note AH la distance du point A à la droite (BC).
1. Calculer les coordonnées du point H.
  La distance du point A à la droite (BC) est la plus courte distance du point A à tout point M de la droite.
  Elle est obtenue pour le point H de la droite (BC) d'abscisse 4, l'ordonnée du point H est : $y_{H} = \frac{1}{2} \times 4 - 3 = - 1$
  Le point H a pour coordonnées $(4; - 1)$ .
2. Déterminer une équation de la hauteur (AH).
  Les points A et H n'ont pas la même abscisse donc la droite (AH) admet une équation de la forme $y = m x + p$ avec $m = \frac{y_{H} - y_{A}}{x_{H} - x_{A}}$ . Soit $m = \frac{- 1 - 5}{4 - 1} = - 2$
  Comme le point $A (1; 5)$ appartient à la droite (AH), on en déduit que $\begin{matrix} - 2 + p = 5 & \Leftrightarrow & p = 7 \end{matrix}$
  La hauteur (AH) a pour équation $y = - 2 x + 7$ .

partie c

Résoudre le système ${\begin{array}{l} y = - 2 x + 7 \\ y = - \frac{x}{3} + \frac{11}{3} \end{array}$ . Interpréter graphiquement le résultat.
$\begin{array}{rcl} {\begin{array}{l} y = - 2 x + 7 \\ y = - \frac{x}{3} + \frac{11}{3} \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} y = - 2 x + 7 \\ - 2 x + 7 = - \frac{x}{3} + \frac{11}{3} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} y = - 2 x + 7 \\ - \frac{5}{3} x = - \frac{10}{3} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array} \end{array}$
Le système admet pour couple solution $(2; 3)$ . Les droites (AH) et 𝒟 se coupent au point de coordonnées $(2; 3)$ .
Soit K le point de coordonnées $(2; 3)$ . Les droites (BK) et (AC) sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
K est le point d'intersection de deux hauteurs du triangle ABC donc K est l'orthocentre du triangle ABC.
(BK) est la hauteur du triangle ABC issue de B donc les droites (BK) et (AC) sont perpendiculaires.

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x	$- \infty$		4		$+ \infty$
$f (x)$			45